Формул с постоянным шагом.

Горизонтальная таблица разностей.

Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования значений вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

P_n(x)=y_n+qy_n-1++y₀,

Пример: y= sin x x, h=5

x	y	y	2y	3y	4y	5y
	0.5000	0.0736	-0.0044	-0.0005		0.0002
	0.5736	0.0692	-0.0049	-0.0005	0.0002
	0.6428	0.0643	-0.0054	-0.0003
	0.7071	0.0589	-0.0057
	0.7660	0.0532
	0.8192

Пример: Отыщем sin(51 ^o), x_n=51, x=50^o, q=0.2

Как первая, так и вторая формула Ньютона может быть использована для экстраполирования функции, т.е. для нахождения значений функции y для значений аргументов x, лежащих вне пределов таблицы.

Если x<x₀, то лучше применять первую интерполяционную функцию Ньютона.

Если x>x_0, то лучше применять вторую интерполяционную функцию Ньютона.

Т.е., 1ИФН используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад.

2 ИФН используется для интерполирования назад и экстраполирования вперёд.

Как видно из формул 1 и 2 , при интерполяции используется разности: в 1ИФН ⁿy₀ , во 2ИФН ^ky_{k+_} .

Но существуют формулы, называемые формулы с центральными разностями, к ним относятся:

- ИФ Гаусса

- ИФ Стерлинга

- ИФ Бесселя,

которые используют разности, расположенные в горизонтальной строке диагональной таблицы, соответствует начальным значениям x_k, y_k или в строках близлежащих.

Но все эти формулы работают только для постоянного шага.

Необходимо отметить следующее:

при построении интерполяционных формул Ньютона в качестве начального значения выбирается первый или последний узел интерполирования; для центральных формул начальный узел является средним.

При применяют формулу Стирлинга, а при - Бесселя.

1ИФН и 2ИФН применяют тогда, когда интерполирование производится в начале или в конце таблицы и нужных центральных разностей не хватает.

Общая характеристика интерполяционных

Может быть представлена в виде диагональной таблицы разностей:

x	y	y	2y	3y	4y	Примечание
x-2	y-2		2y-3		4y-4	2-я ИФН
		y–2		3y-3
x-1	y–1		2y-2		4y-3
		y-1		3y-2
x0	y0		2y-1		4y-2	ф. Стерлинга
		y0		3y-1		ф. Бесселя
x1	y1		2y0		4y-1
		y1		3y0
x2	y2		2y1		4y0	1-я ИФН

Мы рассмотрели интерполяционные формулы для равностоящих узлов интерполирования.

Рассмотрим формулы для произвольно заданных узлов интерполирования.

Наиболее часто используется формула Лагранжа.