Первая интерполяционная формула Ньютона.

Диагональная таблица

x	y

При составлении таблиц возможные ошибки вычисляются и диагональная таблица наглядно показывает нам, как отразится ошибка в значении y_n.

Следует заметить, что максимальная ошибка – в той же горизонтальной строке, где и табличная величина y_n.

Пример: исправить ошибку в таблице (неверные цифры взяты в скобки).

				Ошибка
	13,260
	14,144
	15,912
	15,028		(-4)0
		88(0)4
	16,79(2)6		(8)0
		88(8)4
	17,680		(-4)0
	18,564
	19,448
	20,332

Как видно из таблицы, ход вторых разностей нарушается при x=19. Ошибка распространяется на 3 строки. Находим среднее арифметическое значение второй разности для средней из 3 точек:

=, =

Внося исправление в табличное значение y для x=19, получим верное значение функции:

_n=(y_n+ )- =16.792-(-0.004)=16.796.

Пусть для функции y=f(x) заданы значения y_i=f(x_i) для равноотстоящих значений независимой переменной x_i=x₀+i*h (i=0,n) , где h - шаг интерполяции.

Требуется подобрать полином P_n(x) степени не выше n, принимающий в точках x_i значения P_n(x_i)=y_i (i=0,n)

Ньютон решил поставленную задачу:

P_n(x)=y₀+qy++y₀,

где q=.

Эта формула называется первой интерполяционной формулой Нью-тона.

q=,

где k - число шагов, необходимых для достижения точки x , исходя из точки x₀.

Рассмотрим частные случаи n=1 или n=2:

n=1 P₁(x)=y₀+qy₀ – линейное интерполирование

n=2 P₂(x)=y₀+qy₀+²y₀–параболическое (квадратичное) интерполирование

Пример: необходимо построить интерполяционный полином Ньютона для функции y=на отрезке c h=1

Горизонтальная таблица разностей.

x	y	y	2y	3y	4y
	0.25	-0.05	0.017	-0.008	0.005
	0.2	-0.033	0.009	-0.003
	0.167	-0.024	0.006
	0.143	-0.018
	0.125

Т.о., при наличии 5 точек максимальный порядок существующей конечной разности =4, максимальная степень полинома =4.

P₄(x)=y₀+qy₀++y₀+

Как пользоваться формулой?

Допустим, необходимо определить значение в точке x=4.4

Узловые точки x₀=4, h=1,тогда q=

Точное значение =0.22727.