Метод Эйлера

Решим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка y’= f(x,y) методом Эйлера.

Пусть правая часть уравнения равна f(x,y)=x*y

1. Зададим границы изменения x: x_min=0, x_max=1

2. Зададим число точек и величину шага: n=10, h=(x_max-x_min)/n

3. Зададим начальные условия: y0= 1 x0 = x_min

4. Вычислим x и y по формулам Эйлера j=1..n

Представим результат графически и сравним его с аналитическим решением y1(x)=exp(x^2/2), при z=0..1 с шагом 0.1, k=0..n

Реализация метода на MathCAD:

Точное аналитическое решение и решение, полученное численно, отличаются в точке x=1 на y1(1) – yn =0.062

То есть относительная ошибка составляет 0.062%, с увеличением количества шагов n, она снижается, так при n = 50, относительная ошибка (погрешность) будет равна 0.013%.

Варианты заданий:

Произвести вычисление на MathCAD’е в соответствие с вышеуказанным решением по методу Эйлера, узнать относительную погрешность, изменяя параметры:

1. x_min=0.1, x_max=1, n=20, y0 =0.9
2. x_min=0, x_max=0.99, n=18, y0 =1
3. x_min=0.2, x_max=1, n=29, y0 =1.9
4. x_min=0, x_max=1.1, n=40, y0 =1
5. x_min=0.3, x_max=1.2, n=50, y0 =1/3
6. x_min=0.4, x_max=1, n=60, y0 =1/9
7. x_min=0.2, x_max=1, n=70, y0 =1/2
8. x_min=0.1, x_max=1, n=30, y0 =1/6
9. x_min=0, x_max=0.9, n=90, y0 =1/2
10. x_min=0.01, x_max=1, n=39, y0 =3/4
11. x_min=0.02, x_max=1, n=74, y0 =1/8
12. x_min=0.03, x_max=1, n=11, y0 =0.43
13. x_min=0.04, x_max=1, n=9, y0 =0.98
14. x_min=0.05, x_max=0.8, n=65, y0 =0.5
15. x_min=0.09, x_max=0.09, n=19, y0 =0.3
16. x_min=0.08, x_max=0.9, n=99, y0 =0.8
17. x_min=0.07, x_max=0.99, n=19, y0 =0.6
18. x_min=0.45, x_max=0.69, n=10, y0 =0.53
19. x_min=0.19, x_max=0.29, n=47, y0 =0.12
20. x_min=0.69, x_max=0.19, n=9, y0 =0.2

6. Нелинейный осциллятор Ван дер Поля

Уравнение Ван дер Поля описывает свободные автоколебания одной из простейших нелинейных колебательных систем (осциллятора Ван дер Поля). В частности, уравнение служит математической моделью (при ряде упрощающих предположений) лампового генератора на триоде в случае кубической характеристики лампы. Характер решений уравнения был впервые подробно изучен Ван дер Полем.

При μ< 1 в системе возникают квазигармонические автоколебания:

при μ ~1 — сильно несинусоидальные колебания:

при μ > 1 — релаксационные колебания:

Независимо от начальных условий все фазовые траектории стягиваются к предельному

циклу — замкнутой траектории , соответствующей стационарному режиму. В нашем случае автоколебания устанавливаются в системе при любых начальных условиях, в том

числе и при нулевых начальных значениях тока и напряжения. Такой режим возбуждения

автоколебаний называется мягким. Классическая модель нелинейной системы, демонстрирующая периодические автоколебания.

При различных начальных условиях фазовая траектория стремится к аттрактору - предельному циклу.

Установившиеся движения представляют собой периодические колебания, математическим образом в фазовом пространстве которых и является предельный цикл.

Фазовая траектория автоколебаний:

Пример фазового портрета автоколебательной системы

Реализация уравнения на MathCAD:

Примечание: Для того чтобы вставить греческую букву Мю μ, необходимо открыть вкладку Вид, Панель инструментов, Греческая, и нажать на соответствующую кнопку:

Примечание: Для того чтобы вставить штрих после у нажмите CTRL+F7