Вычислительный блок для решения одного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ), реализующий численный метод Рунге-Кутты, состоит из трех частей:
- Given — ключевое слово;
- ОДУ и начальное условие, записанное с помощью логических операторов, причем начальное условие должно быть в форме у (t1) = b;
- odesoive(t, t1) — встроенная функция для решения ОДУ относительно переменной t на интервале (t0,t1).
Для вызова функции Odesolveнужно открыть вкладку Добавить, Функцию, в появившимся окне в разделе Категории функций выберите Решение диф. уравнений, а в разделе Имя функции кликните на Odesolve, и нажмите кнопку ОК.
Далее создайте график, и приведите его к следующему виду:
Если компьютер у вас не самый мощный, то расчет изображенного выше, фазового портрета в MathCAD может занять относительно продолжительное время, что связано с численным определением сначала решения у(t), а потом и его производной.
Неизвестная функция времени y(t) имеет смысл электрического тока, а в параметре μ заложены количественные соотношения между составляющими электрической цепи, в том числе и нелинейной компонентой сопротивления.
Варианты заданий:
Произвести вычисление на MathCAD’е в соответствии с вышеуказанной реализацией решения, получить фазовый портрет, изменяя следующие параметры:
y(0) = 0.02, μ =1.2, y’=0.05
y(0) = 0.22, μ =1.4, y’=0.06
y(0) = 0.32, μ =1.8, y’=0.07
y(0) = 0.42, μ =2.4 , y’=0.08
y(0) = 0.52, μ =2.6, y’=0.09
y(0) = 0.62, μ =2.8, y’=0.1
y(0) = 0.72, μ =2.9, y’=0.15
y(0) = 0.82, μ =0.02, y’=0.17
y(0) = 0.92, μ =0.2, y’=0.18
y(0) = 1.02, μ =0.5 , y’=0.2
y(0) = 3.02, μ =1.2, y’=0.25
y(0) = 2.32, μ =0.09, y’=0.35
y(0) = 1.32, μ =2.03, y’=0.45
y(0) = 0.02, μ =0.05, y’=0.55
y(0) = 0.09, μ =1.2, y’=0.65
y(0) = 0.12, μ =1.2, y’=0.75
y(0) = 2.02, μ =1.2, y’=0.75
y(0) = 3.02, μ =2.09, y’=0.8
y(0) = 2.52, μ =0.2, y’=0.95
y(0) = 1.22, μ =0.04, y’=0.005
1. Аттрактор Лоренца
Аттрактор Лоренца (от англ. to attract — притягивать) ― компактное инвариантное множество L трехмерном фазовом пространстве гладкого потока, которое имеет определённую сложную топологическую структуру и является асимптотически устойчивым, оно устойчиво по Ляпунову и все траектории из некоторой окрестности L стремятся к L при t → ∞.
Аттрактор Лоренца был найден в численных экспериментах Лоренца, исследовавшего поведение траекторий нелинейной системы:
при следующих значениях параметров: σ=10, r=28, b=8/3. Эта система вначале была введена как первое нетривиальное галёркинское приближение для задачи о конвекции морской воды в плоском слое, чем и мотивировался выбор значений σ, rи b, но она возникает также и в других физических вопросах и моделях:
- конвекция в замкнутой петле;
- вращение водяного колеса;
- модель одномодового лазера;
- диссипативный осциллятор с инерционной нелинейностью.
Модель Лоренца является реальным физическим примером динамических систем с хаотическим поведением, в отличие от различных искусственно сконструированных отображений («зуб пилы», «тент», преобразование пекаря, отображение Фейгенбаума и др.).
Реализация аттрактора на MathCAD:
Поскольку неизвестных функций три, то фазовый портрет системы должен определяться не на плоскости, а в трехмерном пространстве.
Примечание: Функция rkfixed можно вызвать открыв вкладку Добавить, Функцию, и в появившимся окне, в правом списке окна выбрать rkfixed.
Примечание:Для того чтобы получить объемный график необходимо открыть вкладку Вид, Панель инструментов, Графики, и нажать кнопку «График плоскости» на панели:
В появившейся пустой заготовки, напротив синего курсора ввести: (X,Y,Z), и нажать на пустое место в рабочей области. У вас должно получится следующее:
Далее необходимо настроить вид графика. Для этого дважды щелкните левой кнопкой мыши по графику, появится окно Формат 3D графика:
Далее во вкладке График 1, выбираем параметр График разброса:
Затем окрываем вкладку Вид, с в разделе Настройка цвета выбираем параметр Карта цветов, и нажимаем кнопку ОК:
В результате у вас должен получится подобный график:
Примечание: Если навести на него курсор и зажать левую кнопку мыши можно разглядывать график с разных сторон, а зажав клавишу Ctrl и крутя колесико мыши, можно увеличивать и уменьшать масштаб графика, для того чтобы лучше его рассмотреть.
Решением системы Лоренца при определенном сочетании параметров является странный аттрактор (или аттрактор Лоренца) - притягивающее множество траекторий на фазовом пространстве. В некотором смысле, аттрактор Лоренца является стохастическими автоколебаниями, которые поддерживаются в динамической системе за счет внешнего источника. Решение подобных нелинейных динамических систем можно получить только численно, поэтому их изучение стало бурно развиваться с ростом возможностей вычислительной техники в последние полвека.
Варианты заданий:
Произвести вычисление на MathCAD’е в соответствии с вышеуказанной реализацией решения, получить фазовый портрет, изменяя следующие параметры:
