Модифицированный метод Эйлера

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Это можно сделать, например, используя среднее значение производной в начале и в конце интервала. В модифицированном методе Эйлера сначала по методу Эйлера вычисляется значение функции в следующей точке:

y^*_i+1 = y_i + hf(x_i,y_i),

которое используется для вычисления приближённого значения производной в конце интервала f(x_i+1, y^*_i+1). Вычислив среднее между этим значением производной и её значением в начале интервала, найдём более точное значение y_i+1:

y_i+1 = y_i + h/2[ f(x_i,y_i) + f(x_i+1, y^*_i+1 )].

Принцип метода проиллюстрирован на рис. 17.3. Для получения новой точки в нём требуется информация о двух других точках – предыдущей и промежуточной. Ошибка этого метода на каждом шаге имеет порядок h².

Рис.17.3. Принцип модифицированного метода Эйлера

Пример 2. Разработать, сохранить и выполнить программу для решения дифференциального уравнения из примера 1 модифицированным методом Эйлера (при выполнении расчетов использовать хранение результатов в массивах):

Program ModEuler;

Uses Crt;

Var

xn,xk,yn,yw,h:real;

i,n:integer;

x,y:array [1..20] of real;

Function f(x,y:real):real;

begin

f:=2*x*x+2*y;

end;

Begin

ClrScr;

Writeln(' Решение дифференциального уравнения ');

Writeln(' dy/dx=2x^2+2y модифицированным методом Эйлера ');

xn:=0; yn:=1; xk:=1; h:=0.1;

x[1]:=xn; y[1]:=yn; i:=1;

repeat

yw:=y[i]+h*f(x[i],y[i]);

y[i+1]:=y[i]+h/2*(f(x[i],y[i])+f(x[i]+h,yw));

x[i+1]:=x[i]+h;

i:=i+1;

until x[i]>xk;

n:=i;

{ Выводим результаты }

Writeln('--------------------');

Writeln('| № | x | y |');

Writeln('--------------------');

for i:= 1 to n do

Writeln('|', i:2, ' |', x[i]:5:2, ' |', y[i]:7:4, ' |');

Writeln('--------------------');

Readln;

End.