Метод Рунге-Кутта

Для повышения точности вычисления значений функции требуется проведение дополнительных вычислений внутри интервала h, то есть между x_i и x_i+1. Метод Рунге-Кутта даёт набор формул для расчёта координат внутренних точек, требуемых для достижения точности, то есть ошибки на каждом шаге, порядка h⁴. Расчёты при использовании этого метода производятся по формуле:

,

где k₀=hf(x_i,y_i), k₁=hf(x_i+h/2, y_i+k₀/2),
k₂=hf(x_i+h/2, y_i+k₁/2), k₃=hf(x_i+h, y_i+k₂).

Метод Эйлера и его модификация по сути дела являются методами Рунге-Кутта первого и второго порядка соответственно. По сравнению с ними метод Рунге-Кутта обеспечивает более высокую точность, что позволяет увеличить шаг интегрирования h. Допустимая погрешность на шаге определяет его максимальную величину.

Пример 3.Приведём фрагмент программы для решения дифференциального уравнения из примера 1 методом Рунге-Кутта:

Program Runge;

Uses Crt;

Var

xn,xk,yn,h,k0,k1,k2,k3:real;

i,n:integer;

x,y:array [1..20] of real;

Function f(x,y:real):real;

begin

f:=2*x*x+2*y;

end;

Begin

ClrScr;

Writeln(' Решение дифференциального уравнения ');

Writeln(' dy/dx=2x^2+2y методом Рунге-Кутта ');

xn:=0; yn:=1; xk:=1; h:=0.1;

x[1]:=xn; y[1]:=yn; i:=1;

repeat

k0:=h*f(x[i],y[i]);

k1:=h*f(x[i]+h/2,y[i]+k0/2);

k2:=h*f(x[i]+h/2,y[i]+k1/2);

k3:=h*f(x[i]+h,y[i]+k2);

y[i+1]:=y[i]+(k0+2*k1+2*k2+k3)/6;

x[i+1]:=x[i]+h;

i:=i+1;

until x[i]>xk;

n:=i;

Writeln('----------------------');

Writeln('| № | x | y |');

Writeln('----------------------');

for i:= 1 to n do

Writeln('|', i:2, ' |', x[i]:5:2, ' |', y[i]:7:4, ' |');

Writeln('----------------------');

Readln;

End.

Задание

Дать сравнительную оценку результатов решения дифференциального уравнения из примера 1 y¢=2x²+2y при начальном условии y(0)=1; 0£ x£1 и h=0,1 обычным и модифицированным методами Эйлера и методом Рунге-Кутта. Для проверки использовать точное решение этого уравнения y=1,5e^2x - x² - x - 0,5. Составить программу, выполняющую вычисления с использованием массивов. Результаты расчёта представить в виде таблицы и вывести её на экран и принтер:

Приложение

Приведём адреса, по которым в Интернете можно найти информацию по программированию на языке Паскаль. Это примеры и исходные тексты программ, учебники и статьи, посвященные обсуждению различных вопросов программирования.