Решение обыкновенных дифференциальных уравнений численными методами

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Поскольку большая часть законов физики формулируется именно в виде дифференциальных уравнений, то инженеру приходится сталкиваться с ними. Лишь немногие из них удаётся решить без помощи вычислительных машин. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчётов.

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши. Если же условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. В задаче Коши дополнительные условия называются начальными, а в краевой задаче – граничными.

Рассмотрим способы решения задачи Коши, которая формулируется следующим образом. Пусть дано дифференциальное уравнение

и начальное условие y(x₀)=y₀.

Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию. Искомая функция выражается в табличном виде:

x₀	x₁	x₂	x₃	…	x_n
y₀	y₁	y₂	y₃	…	y_n

Значения x вычисляются через малое приращение h, h=x₀–x₁=x₂–x₁.

Обычно численное решение этой задачи получают, вычисляя сначала значение производной, а затем, задавая малое приращение для x, переходят к новой точке x₁=x₀+h. Положение новой точки определяется по наклону кривой, вычисленному с помощью дифференциального уравнения. Таким образом, график численного решения представляет собой последовательность коротких прямолинейных отрезков, которыми аппроксимируется истинная кривая y=f(x) (рис.17.1). Сам численный метод определяет порядок действий при переходе от данной точки кривой к следующей.

Рис.17.1. Графическое представление численного решения задачи Коши:
1 – точное решение; 2 – решение, полученное численным методом

Наиболее простыми и известными из методов решения задачи Коши являются методы Эйлера и Рунге-Кутта. Они используются для решения дифференциальных уравнений первого порядка вида y¢=f(x,y), где y¢=dy/dx, при начальном условии y(x₀)=y₀.