Алгоритм обратного проецирования

Простейшим алгоритмом реконструкции изображений в компьютерной томографии является алгоритм обратного проецирования.

Оценка плотности вычисляется следующим образом. Проекция функции двух переменных для каждого значения угла представляет собой одномерную функцию. Ее можно преобразовать в двумерную функцию, зафиксировав угол и растянув (выполнив обратное проецирование) по всей плоскости в соответствии с выражением

, (5)

Сечение двумерной функции равно , если секущая плоскость перпендикулярной плоскости и ее проекция на плоскость с осью составляют угол . Далее осуществляется сложение всех обратных проекций для . В результате получим суммарное изображение , которое используется в качестве оценки функции плотности . Суммарное изображение определяется соотношением

, (6)

Операция обратного проецирования имеет простую геометрическую интерпретацию. На рис. 4, а показана схема получения трех проекций под углами , и по двумерному изображению , описываемому функцией (4). Изображение на рис. 4 представляет собой вид сверху изображения, приведенного на рис. 2, а, где большим значениям функции соответствует меньший уровень яркости и наоборот. Полученные проекции , , растягиваем в соответствии с (5) и суммируем. Результат реконструкции функции по трем проекциям приведен на рис. 4, б. Видно, что, несмотря на искажения в виде полос, изображение, восстановленное лишь по трем проекциям, имеет много общего с функцией . Полосы являются результатом растягивания проекций. По их направлениям можно оценить углы проекций.

При обратном проецировании каждая точка на изображении превращается в многолучевую звезду, число лучей которой равно удвоенному числу проекций. С увеличением числа проекций эти лучи будут сливаться и восстанавливаемое изображение все больше будет похоже на функцию , однако оно с ней никогда не совпадет. На рис. 5, в показан результат применения алгоритма обратного проецирования для восстановления функции (см. рис. 5, а) по 180 равноотстоящим по углу проекциям, изображение которых приведено на рис. 5, б. В данном случае полосы уже незаметны и практически все детали рис. 5, а можно рассмотреть на восстановленной томограмме. Однако контрастность и четкость такого изображения остаются неудовлетворительными.

Рис. 4. Схема восстановления томограммы по алгоритму обратного проецирования: а – получение проекций, б – суммирование обратных проекций.

Таким образом, идея алгоритма обратного проецирования состоит в том, что оценку плотности в любой точке с координатами находят путем суммирования лучей, проходящих через эту точку.