Свёрточный алгоритм

Невысокая эффективность алгоритма обратного проецирования объясняется тем, что он является эвристическим (полученным опытным путем). Для того чтобы точно восстановить функцию по проекциям , необходимо найти преобразование, обратное преобразованию Радона. По сути для определения неизвестной функции необходимо решить интегральное уравнение (2) или (3). Впервые такое решение было предложено Радоном. Одной из возможных реализаций этого решения является сверточный алгоритм, который благодаря простоте и высокой точности нашел широкое применение в компьютерных томографах.

Сверточный алгоритм определяется соотношением

, (7)

Где

, (8)

Выражение (8) представляет собой операцию свертки проекции (при фиксированном угле ) с функцией

Операция, описываемая соотношением (7), является операцией обратного проецирования. Из (7) и (8) следует, что обратное преобразование Радона реализуется с помощью сверточного алгоритма в два этапа. На первом этапе выполняется свертка по первой переменной проекции, результатом которой являются модифицированные проекции . На втором этапе осуществляется их обратное проецирование.

Рис. 5. Примеры восстановления томографического изображения методом обратного проецирования и свёрточным алгоритмом: а – эталонное изображение ; б – проекции ; в – результат восстановления алгоритмом обратного проецирования; г – модифицированные проекции ; д – результат восстановления свёрточным алгоритмом.

На рис. 5, д показан результат восстановления функции сверточным алгоритмом по модифицированным проекциям, изображение которых приведено на рис. 5, г. Неидеальность восстановления объясняется тем, что число проекций, полученных под различными углами зондирования, и число лучей являются конечными. В приведенном примере число лучей равно 128, а число проекций - 180. Это ограничение принципиально, так как в реальных компьютерных томографах технически невозможно получить бесконечное число проекций и измерять интенсивность излучения для всех возможных значений .