Получение проекций

Рис. 1. Схема получения проекций.

В основе большинства томографов лежит идея, состоящая в том, что внутреннюю структуру объекта можно представить получив ряд параллельных поперечных сечений. Поэтому главная задача компьютерной томографии состоит в получении двумерного (плоского) изображения поперечного сечения исследуемого объекта, которая и будет рассмотрена далее.

Метод получения двумерного томографического изображения содержит два этапа. На первом этапе формируются проекционные данные, на втором по проекционным данным восстанавливается изображение поперечного сечения.

Чтобы определить внутреннюю структуру объекта, необходимо получить информацию о ней. Для этого используется излучение, проникающее сквозь объект. Пусть необходимо определить плотность распределения вещества в сечении объекта. Исследуемый объект в пределах тонкого поперечного слоя просвечивается, например, параллельным пучком хорошо сфокусированных рентгеновских лучей (рис. 1). Направление лучей составляет некоторый угол с осью . Лучи ослабляются веществом, находящимся внутри объекта, пропорционально его плотности. С противоположной стороны объекта располагается устройство, регистрирующее интенсивность каждого луча, прошедшего через объект. При этом полагается, что лучи распространяются в объекте вдоль прямой линии , определяемой уравнением

, (1)

где — расстояние от начала координат до соответствующего луча (см. рис. 1). Тогда интенсивность луча на выходе из объекта равна интегралу от искомого распределения вдоль траектории луча :

, (2)

где связь между исходной системой координат и повернутой на угол системой координат определяется соотношением

,

.

а уравнение прямой (1) в системе координат имеет вид

.

Регистрируемое излучение называется радоновским образом или проекцией, а преобразование (2) — преобразованием Радона. Проекции вычисляются под всевозможными углами и для тех значений , при которых двумерная функция отлична от нуля. На практике величина ограничивается физическими размерами исследуемого объекта, а угол изменяется в пределах от до , так как при изменении угла на просвечивание ведется в строго обратном направлении, поэтому . Удобно ввести рассмотрение окружность радиуса , охватывающую исследуемое поперечное сечение. В этом случае интеграл в (2) имеет вид

, (3)

Таким образом, каждое значение радоновского образа есть интеграл от тех значений функции , которые она принимает вдоль луча , определяемого параметрами и .

В качестве примера вычислим радоновский образ для двух гауссовских импульсов, описываемых соотношением

, (4)

Подставляя (4) в (3), находим

.

Функция (4) и соответствующий ей радоновский образ изображены на рис. 2. Видно, что функция и радоновский образ совсем непохожи друг на друга. Однако между радоновским образом и функцией, порождающей его, имеется взаимно однозначное соответствие, которое и лежит в основе всех алгоритмов реконструкции томографических изображений.

Рис. 2. Функция (а) и её радоновский образ (б).