Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику.
На первичное развитие теории массового обслуживания оказали особое влияние работы датского ученого А. К. Эрланга (1878-1929).
Теория массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживан6ия, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами.
Задача теории массового обслуживания – установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что заявка будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных заявок и т.д.) от входных показателей (количества каналов в системе, параметров входящего потока заявок и т.д.). Результирующими показателями или интересующими нас характеристиками СМО являются – показатели эффективности СМО, которые описывают способна ли данная система справляться с потоком заявок.
Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и простоев каналов обслуживания.
Система обслуживания считается заданной, если известны:
1) поток требований, его характер;
2) множество обслуживающих приборов;
3) дисциплина обслуживания (совокупность правил, задающих процесс обслуживания).
Каждая СМО состоит из какого-то числа обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания. В качестве каналов могут фигурировать: линии связи, различные приборы, лица, выполняющие те или иные операции и т.п.
Всякая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок, поступающих в какие-то случайные моменты времени. Обслуживание заявок продолжается какое-то случайное время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времен обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (или прихода новой заявки, или окончания обслуживания, или момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).
Перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом:
- среднее время обслуживания;
- среднее время ожидания в очереди;
- среднее время пребывания в СМО;
- средняя длина очереди;
- среднее число заявок в СМО;
- количество каналов обслуживания;
- интенсивность входного потока заявок;
- интенсивность обслуживания;
- интенсивность нагрузки;
- коэффициент нагрузки;
- относительная пропускная способность;
- абсолютная пропускная способность;
- доля времени простоя СМО;
- доля обслуженных заявок;
- доля потерянных заявок;
- среднее число занятых каналов;
- среднее число свободных каналов;
- коэффициент загрузки каналов;
- среднее время простоя каналов.
Для облегчения процесса моделирования используют классификацию СМО по различным признакам, для которых пригодны определенные группы методов и моделей теории массового обслуживания, упрощающие подбор адекватных математических моделей к решению задач обслуживания в коммерческой деятельности.
1.3. Модель «AS - IS» деятельности торговой точки ООО "Евросеть-Ритейл" в г. Гагарине по обслуживанию клиентов. Обоснование актуальности темы
Торговая точка ООО "Евросеть-Ритейл" в г. Гагарине является системой массового обслуживания с ожиданиями. Поступающие на вход системы массового обслуживания требования-заявки следуют одно за другим и образуют непрерывный поток событий. Данную с большой степенью достоверности можно отнести к СМО с ожиданием, т.к. почти каждая заявка, прибывшая в систему, когда в ней нет свободных каналов (менеджеров, продавцов, кассиров), остается и ожидает, пока освободится какой-нибудь канал и ее возьмут на обслуживание. Средняя длина очереди у каналов обслуживания составляет 2 человека.
Таблица 1.1
Таблица «Виды заявок»
Наименование услуги
Интенсивность потока
обслуживания за 1 мин.
1. Консультация
Продолжение табл. 1.1
Наименование услуги
Интенсивность потока
обслуживания за 1 мин.
2. Выбор и приобретение товара
3. Прием платежа
4. Прием в ремонт
5. Выдача из ремонта
6. Прочее
Таблица 1.2
Таблица «Приход заявок»
Время
Будни
Выходные
Количество заявок за интервал среднее за 22 дней
Количество заявок за интервал среднее за 8 дней
Виды заявок
Виды заявок
9-11
0,02
0,2
0,02
0,2
11-18
0,1
0,1
0,1
0,1
18-21
0,1
0,1
0,1
0,1
На основе полученных методом наблюдения данных производим расчеты, вычисляем среднюю интенсивность потока заявок, для этого найдем среднее количество заявок за 1 месяц. Получим, что λ=14,1 заявок в час или λ=0,235 заявок в минуту.
Затем рассчитаем интенсивность потока обслуживания. Для этого найдем среднее время выполнения одной заявки по формуле , где n-количество видов заявок, получим, что . Затем найдем среднюю интенсивность обслуживания заявок в системе по формуле: , получим, что μ=0,2676.
Система имеет шесть состояний:
S0 — все продавцы свободны;
S1 — один продавец занят, очереди нет;
S2 — два продавца заняты, очереди нет;
S3 — три продавца заняты, очереди нет;
S4 — три продавца заняты, в очереди один человек;
S5 — три продавца заняты, в очереди два человека.
Граф состояний изображен на рис. 1.1.
Пояснение к рис. 1.1:
λ — интенсивность потока ожидания;
μ — интенсивность потока обслуживания.
Рис. 1.1. Граф состояний
Актуальной задачей на сегодняшний день является создание моделей систем массового обслуживания (СМО), так как такие системы функционируют повсюду. Примерами СМО могут служить телефонные станции, билетные кассы, магазины, парикмахерские, поликлиники и т.п. Каждая из этих систем состоит из определенного числа обслуживающих единиц (аппаратов обслуживания). Такими аппаратами могут быть кассы, продавцы, врачи и другие. Любая СМО предназначена для обслуживания некоторого количества заявок, поступающие в какие-то случайные моменты времени. Обслуживание заявки продолжается некоторое время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки.
Таким образом, моделируя реальные процессы, которые могут происходить в жизни, мы можем прогнозировать эффективность и скорость работы системы. Изменяя параметры системы, пользователь может проследить, как изменяется эффективность работы. А затем, можно принять решение о том, при каких установках система будет работать максимально производительно; сколько следует установить аппаратов, чтобы время простоя аппарата было минимально, а время занятости максимальным. Изучив результаты данного моделирования, пользователь может применить их и в своей жизни. Например, открывая свое дело, каким-то образом касающееся массового обслуживания населения.
Значит, можно сказать, что данные имитационные модели систем массового обслуживания имеют большое практическое применение, как для больших систем, так и систем частного характера.
, где n-количество видов заявок, получим, что 
. Затем найдем среднюю интенсивность обслуживания заявок в системе по формуле: 
, получим, что μ=0,2676.