Теорема. Пусть 
- попарно взаимно простые числа. Для любого набора 
, ( 
) существует такое единственное целое число 
, что: 
, где 
и 
.
Доказательство. Допустим, что для некоторого набора 
найдутся два числа 
и 
, удовлетворяющие условиям теоремы.. Разность 
делится на числа 
( 
) без остатка а, значит, и на произведение этих чисел. Учитывая принадлежность чисел и промежутку от 0 до 
, выводим 
. Таким образом, утверждение теоремы доказано.
Если в условиях теоремы не требовать взаимной простоты модулей 
, то уменьшится длина интервала в котором целое число однозначно восстанавливается по остаткам с произведения чисел 
до их наименьшего кратного 
. А во вторых нарушится взаимная однозначность между наборами остатков и целыми числами, а именно, не для каждого набора остатков найдется целое число с данными остатками. Например, не существует целых чисел имеющих остатки 1 и 2 по модулям 4 и 6. Действительно, остаток 1 по модулю 4 даёт только нечетное число, а остаток 2 по модулю даёт только четное число.
Конечно, при генерации модулей условие взаимной простоты накладывает достаточно серьезные ограничения. Как правило, в качестве модулей берутся простые числа. В этом случае взаимная простота модулей очевидна. Хочется отметить, что для чисел влезающих в ячейку памяти существуют достаточно эффективные тесты простоты.
