Алгебраические функции общего вида

На примере простых и вложенных радикалов обозначился тот круг проблем, которые необходимо решить для построения канонического представления алгебраических функций.

Как можно решить задачу взаимозависимости алгебраических функций? Если порождающий алгебраическую функцию полином неприводим, т.е. не разложим на множители – полиномы с целыми коэффициентами, то корни уравнения f(x)=0 – алгебраические функции независимы.

Значит, для поиска независимых алгебраических функций необходимо решить задачу факторизации полинома от нескольких переменных. Более того, если у нас есть несколько порождающих полиномов, возникает задача разложения полиномов на множители над алгебраическими полями, что довольно сложно. Т.е., если есть два неприводимых полинома и , это еще не значит, что корни второго полинома не являются независимыми в терминах корней первого полинома.

Второй способ разрешения взаимозависимости алгебраических функций построение примитивных элементов. Вместо того, чтобы рассматривать несколько алгебраических чисел (функций), можно построить одно алгебраическое число (функцию) в терминах которого выразить все остальные. Эта величина называется примитивным элементом поля.

Оба способа разрешения взаимозависимости рациональных функций вычислительно трудоемки и практически не приемлемы для применения в системах компьютерной алгебры, и поэтому в системах аналитических вычислений не применяется канонических представлений для алгебраических функций.

Выводы

Вывод заключается в следующем: наличие теоретических алгоритмов разрешения проблем компьютерной алгебры не означает их практическое решение.