Операции на нечётких множествах

На нечётких множествах можно определить ряд математических операций, являющихся обобщением аналогичных операций, выполняемых на чётких множествах:

1. Логическая сумма множеств

, (8.2)

где знак обозначает оператор .

Пример 8.1.

Пусть даны два нечётких множества и , определённые следующим образом:

Логическая сумма этих множеств равна:

.

2. Логическое произведение множеств

, (8.3)

где знак обозначает оператор . Для данных примера 8.1 множество будет иметь вид:

.

3. Отрицание (дополнение) множества называется множество , с функцией принадлежности

. (8.4)

В отличие от обычных множеств, где отрицание элементов, принадлежащих к множеству, даёт пустое множество, отрицание нечёткого множества определяет непустое множество, состоящее из элементов, функции принадлежности которых, также определены на интервале [0,1].

4. Равенство множеств и .

Нечёткие множества и равны между собой, когда для всех элементов обоих множеств выполняется условие .

5. Операция концентрации множества

. (8.5)

Эта операция часто выполняется при действиях с лингвистическими переменными, в которых она отождествляется с интенсификатором «очень».

6. Операция растяжения множества

. (8.6)

Лингвистическое значение этой операции формулируется как «примерно» или «приблизительно».

7. Ограниченная разность двух нечётких множеств

, (8.7)

8. Нормализация множества

. (8.8)

Следует отметить, что множество считается подмножеством множества , то есть , когда для всех элементов выполняется неравенство: .

9. Декартово произведение нечётких множеств

(8.9)

или

(8.10)

для каждого .

Определённые выше операции обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности, которые определяются следующим образом:

· ассоциативность: ;

· коммутативность: (за исключением ограниченной разности);

· дистрибутивность: ,

где операторы и обозначают любую операцию на нечётких множествах. Из свойств нечётких множеств следует, что в отличие от произведения обычных множеств логическое произведение множества и его отрицания не обязательно образуют пустое множество, что можно записать в виде:

. (8.11)

Точно также логическая сумма нечёткого множества и его отрицание не образуют полное множества , что можно записать в виде:

. (8.12)