Основные понятия и определения теории нечётких множеств

Понятие нечётких множеств (fuzzy sets) как обобщение чётких множеств было введено Л.Заде в 1965 году. Причиной создания теории нечётких множеств стала необходимость описания таких явлений и понятий, которые имеют многозначный и неточный характер. Известные до этого математические методы, использовавшие классическую теорию множеств и двузначную логику, не позволяли решать такие проблемы.

Перед формулированием определения нечёткого множества необходимо задать так называемую область рассуждений или пространство рассуждений, которое является чётким множеством. В случае неоднозначного понятия «много денег» большой будет признаваться одна сумма, если мы ограничимся диапазоном [0, 1000 руб.] и совсем другая в диапазоне [0, 1000000 руб.][5].

Традиционный способ представления элементов множества состоит в применении характеристической функции , которая равна 1, если этот элемент принадлежит множеству , или равна 0 в противном случае. В нечётких системах элемент может частично принадлежать к любому множеству.

Нечётким множеством в некотором непустом пространстве , что обозначается , называется множество пар , где - функция принадлежности нечёткого множества [4].

Степень принадлежности элемента к множеству , представляющая собой обобщение характеристической функции, называется функцией принадлежности , причём . Значениями функции принадлежности являются рациональные числа из интервала [0,1], где 0 означает отсутствие принадлежности к множеству, а 1 – полную принадлежность. Конкретное значение функции принадлежности называется степенью или коэффициентом принадлежности [4].

Эта степень может быть определена явно функциональной зависимостью , либо дискретно – путём задания конечной последовательности значений в виде:

(8.1)

В теории нечётких множеств, помимо переменных цифрового типа, существуют лингвистические переменные, с приписываемыми им значениями. Пусть переменная обозначает температуру. Можно определить нечёткие множества: «температура, подходящая для купания в Балтийском море», «температура, подходящая для купания в Чёрном море», «температура, подходящая для купания в Средиземном море», характеризуемые функциями принадлежности , , . Определим все три нечётких множества . Пусть . Множество, определяющее подходящую температуру Балтийского моря, можно задать следующим образом:

Множество, определяющее подходящую температуру Чёрного моря, можно задать следующим образом:

Множество, определяющее подходящую температуру Средиземного моря, можно задать следующим образом:

Определения:

1. Каждое нечёткое множество имеет определённый носитель (support). Носителем множества является подмножество тех элементов , для которых коэффициент принадлежности к не равен нулю, то есть .

2. Два множества и равны между собой, когда для каждого элемента обоих множеств.

3. Кардинальное число нечёткого множества равно сумме коэффициентов принадлежности всех элементов к этому множеству, . Это обобщение аналогичного понятия обычных множеств, для которых кардинальное число равно сумме элементов множества.

4. Нечёткое множество является нормальным, если хотя бы один элемент этого множества имеет коэффициент принадлежности, равный 1.

5. Сечение нечёткого множества образуется подмножеством , содержащим те элементы множества , для которых (слабое сечение) или (сильное сечение), причём .

6. Нечёткое множество называется пустым и обозначается тогда и только тогда, когда для каждого .

7. Нечёткое множество содержится в нечётком множестве , тогда и только тогда, когда для каждого .