Методы исследования нелинейных моделей

Исследования проводят по трем направлениям:

1) – анализ процессов по входу-выходу;

2) –поиск корней нелинейного уравнения;

3) –поиск экстремумов (оптимумов), если они есть

Часто задача исследования нелинейных моделей сводится к поискам корней нелинейного уравнения или их систем. При этом аналитические решения не всегда можно получить, поэтому для их решения применяют численные методы с использованием ЭВМ.

Поиск корней численными методами начинают с поиска области их существования. Обычно эту операцию выполняют графически или на основе априорных данных об объекте. После этого корни уточняют различными методами, известными в вычислительной математике, например, методом половинного деления, Ньютона (касательных), простых итераций и др. Остановимся на методе простых итераций, который может быть обобщен на дискретные логистические задачи численности популяций в экологии.

Пусть дано уравнение , которое не решается относительно аргумента .

Приводят уравнение к виду . Задают начальное приближение корня – х₀ и подставляют его в правую часть полученного уравнения. Вычисляют первое приближение корня

,

затем

и так далее до

,

где =0,1,2.... – число итераций. Если последовательность сходится, то ее граница будет соответствовать точному значению корня. С геометрической точки зрения мы приближаемся к абсциссе точки М пересечения графика с прямой , где и будет решение.

Условие сходимости метода простых итераций имеет вид:

т.е. производная функции в точке начального приближения должна быть меньше единицы.