Метод Эйлера

Основная операция, используемая при моделировании динамических систем – это решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). При аналоговом моделировании решение обыкновенных дифференциальных уравнений осуществляется аппаратными техническими средствами, при цифровом моделировании на ЭВМ – программными средствами.

Цифровое моделирование основано на приближённой замене дифференциальных уравнений, описывающих системы, разностными уравнениями с достаточно малым шагом дискретизации по времени.

Любая система нелинейных ОДУ может быть представлена как система дифференциальных уравнений 1-го порядка в явной форме Коши:

, (2.32)

где у - вектор состояния; - время; - известная функция времени, дифференцируемая в окрестности точки .

Функция может быть описана рядом Тейлора:

Точность численного решения определяется числом учитываемых членов в этом ряде. Самый простой метод приближённого решения (интегрирования) дифференциальных уравнений – метод Эйлера – заключается в том, что для вычисления приближённых значений решения в точках

( - шаг дискретизации)

каждое очередное значение искомого решения на i-ом шаге представляют в виде ряда Тейлора, ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд:

(2.33)

где .

Приближённое равенство (2.33) называют разностным уравнением, эквивалентным (с погрешностью дискретизации) исходному дифференциальному уравнению (2.32). Разностные уравнения это уравнения, которые в явной форме выражают текущие значения искомого решения через его предыдущие значения Процедура последовательного решения уравнения (2.32), в соответствии с алгоритмом (2.33), называется рекуррентной.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера дает удовлетворительные по точности результаты только в тех случаях, когда шаг интегрирования достаточно мал по сравнению с темпом изменения функции по времени. Для достижения 5%-ой точности расчётов шаг дискретизации рекомендуется выбирать из соотношения , где наименьшая постоянная времени системы.

Проиллюстрируем применение метода Эйлера к расчёту переходной характеристики инерционного звена 1-го порядка с передаточной функцией

Передаточной функции апериодического звена соответствует дифференциальное уравнение:

(2.34)

с нулевыми начальными условиями .

Разрешаем уравнение (2.34) относительно старшей производной

и получаем рекуррентный алгоритм вычисления выходной величины y(t):

(2.35)

Для единичного ступенчатое воздействия (2.35) примет вид:

Если передаточная функция имеет второй и более порядок, то,применив один и методов, ее необходимо представить в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Алгоритм Эйлера можно описать следующим образом:

1. Определение значений производных на шаге;

2. Расчет следующего значений функции ;

3. Переход к следующему моменту времени .

4. Проверка на достижение конечного момента времени.

Ошибка метода имеет порядок .