Методы Рунге-Кутты

Для уменьшения погрешности метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, необходимо учитывать большее количество членов разложения ряда Тейлора. При этом возникает необходимость аппроксимации производных второго порядка и более.

Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции в точках на отрезке , которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора. Вычислительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности построены в зависимости от старшей учитываемой степени .

2-му порядку точности соответствует следующее уравнение:

(2.36)

где - свободный параметр; - начальное значение производной в момент ; - бесконечно малая величина, характеризующая погрешность вычислений.

Для параметра L чаще используют значения L=0,5 и L=1. При L=0,5 формула (4.24) приобретает вид:

(2.37)

геометрическая интерпретация которой представлена на рис. 2.18.

Рис. 2.18. Метод Рунге-Кутты 2-го порядка

Сначала вычисляется приближённое решение ОДУ в точке по формуле Эйлера . Затем определяется наклон интегральной кривой в найденной точке , и, после нахождения среднего наклона на шаге определяется уточнённое решение

Схемы подобного типа называются «прогноз-коррекция», что подразумевает грубое вычисление решения по формуле низкого порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о поведении интегральной кривой.

При L=1 от формулы получают следующий алгоритм:

(2.38)

геометрический смысл которой отображен на рис. 2.19.

Рис. 2.19. Метод Рунге-Кутты 2-го порядка

В этом варианте для расчета решения в точке используется значение производной, вычисленное на шаге прогноза в точке :

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка описывается следующим рекуррентным алгоритмом:

;

;

;

;

.

Следует отметить, что для обеспечения сравнимой точности численный метод Эйлера требует меньшего размера шага интегрирования , чем методы Рунге-Кутты. То есть, чем ниже порядок метода Рунге-Кутты, тем меньший размер шага ему требуется.

Кроме этого, что при цифровом моделировании следует уделять серьезное внимание шагу интегрирования, так как неверно выбранный шаг интегрирования может привести не только к большой погрешности расчетов, но и к появлению неустойчивых решений в устойчивых системах.