Модель в пространстве состояний в нормальной форме

Пусть передаточная функция записана в нормальной форме:

, (2.23)

, , .

Тогда дифференциальное уравнение системы имеет вид:

(2.24)

Систему, описываемую уравнением (2.24), можно представить в виде множества дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Вводим новое обозначение - переменные состояния.

– производная -го порядка, которая записывается:

Вектор состояний: .

.

С учетом новых обозначений уравнение (2.24) представляется в виде следующей системы уравнений

(2.25)

Моделью в пространстве состояний называется описание вида:

(2.26)

где х – вектор состояния: ; - производная от х, ;

– матрица, , , – векторы.

В системе уравнений (2.25)

, , .

Передаточная функция (2.23) и система уравнений (2.24) предполагают, что в системе один входной (управляющий) сигнал и один выходной сигнал, т.е. и – это скаляры, следовательно,

, .

В общем случае в системе автоматического управления может быть несколько входов и выходов, тогда и будут представлять собой векторы, а векторы , , будут представлять собой матрицы, число столбцов и строк в которых будет соответствовать числу входов и выходов.

Например, если система имеет два входных воздействия, т.е. описывается уравнением

,

то вектор входных воздействий равен

,

и матрица управляющий воздействий

, .

Если система, к примеру, имеет один вход и два выхода, то

.

Пусть, например, первый из них равен

,

а второй

,

тогда

, .

Пример.

Вход и выход системы связаны передаточной функцией

.

Составляем дифференциальное уравнение:

,

.

Производим переход к машинным переменным

.

Вектор состояний состоит из 2-х элементов: .

Дифференциальное уравнение приобретает вид: .

Получаем следующую систему уравнений:

.

Откуда находим матрицы пространства состояний:

.