Лекция №5

План лекции.

1. Методы решения дифференциальных уравнений.

2. Виды передаточных функций.

2.8. Решение дифференциальных уравнений методом вспомогательной переменной.

Реализацию этого метода рассмотрим на примере решения приведенного выше (2.9) дифференциального уравнения второго порядка с производными в правой части.

.

Запишем уравнение в операторной форме

(2.15)

и разрешим его относительно .

.

Далее введем вспомогательную переменную равную

.

Эта запись соответствует дифференциальному уравнению

,

откуда

. (2.16)

Из (2.15) следует, что

. (2.17)

Уравнения (2.16), (2.17) образуют решающую систему.

.

Рис. 2.6. Блок-схема решения методом вспомогательной переменной.

Достоинство метода вспомогательной переменной в том, что он нагляден, даёт возможность изменять коэффициенты левой и правой частей исходного уравнения (2.10) независимо друг от друга.

2.9. Масштабирование переменных.

Одним из наиболее важных этапов подготовки задач для решения на АВМ является масштабирование. Переменные исходной задачи могут быть как величинами безразмерными, так и иметь размерность. В ВМ всем исходным переменным ставятся в соответствие машинные переменные. Сущность операции масштабирования представляет переход от переменных исходной математической или физической задачи к их аналогам в ВМ, осуществляемого путем введения масштабов.

Масштабирование переменных

Машинные переменные представляются в виде

,

где - масштаб переменной, размерность которой имеет вид

.

Как правило, основанием для выбора масштабов зависимых переменных и возмущений являются соотношения

. (2.18)

Из этого следует, что для выбора масштабов надо знать максимальные значения воздействий и переменных в исходной задаче.

В качестве примера рассмотрим процедуру ввода масштабов зависимых переменных для дифференциального уравнения, описывающего колебательную систему на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Колебательная система.

Система уравнений движения груза имеет вид:

, (2.19)

где – масса груза, – коэффициент вязкого трения, – жесткость пружины, – сила, действующая на груз.

Схема модели приведена на рис. 2.8а.

Рис. 2.8. Модель колебательной системы.

Вводя масштабы переменных, получим следующую модель системы (рис.2.8в), где машинные коэффициенты имеют вид:

.

Из этого следует, что введение масштабов зависимых переменных не меняет структуры модели, а лишь изменяет машинные коэффициенты.

Масштабирование времени

Масштабирование времени - это изменение продолжительности решения задачи на ВМ. Масштаб времени

представляет собой безразмерную величину, характеризующую соотношения скоростей протекания динамических процессов в модели и исходной системе. При говорят, что процесс протекает в натуральном (реальном) масштабе времени, при – в ускоренном времени, при – в замедленном.

Если имеются сведения о времени протекания процесса в исследуемой системе, то масштаб времени определяется из соотношения

,

где – время решения задачи на ВМ.

Если время протекания процесса неизвестно, то масштаб времени можно выбрать из соотношения

,

где и – соответственно свободный член и коэффициент при старшей производной, – порядок дифференциального уравнения.

При моделировании сильноинерционных замкнутых контуров управления, содержащих запаздывающие звенья, в первом приближении (предполагая ), масштаб времени можно выбрать по формуле

,

где – максимальная постоянная времени, – время запаздывания.

Рассмотрим введение масштаба времени для системы уравнений (2.19).

, .

Тогда получим следующее уравнение

.

Таким образом, введение масштаба времени изменяет только машинные коэффициенты при интеграторах.

2.10. Моделирование систем, заданных передаточной функцией.

2.10.1 Виды передаточной функции.

1. Нормальная форма.

.

где W(s) – передаточная функция; B(s) и A(s) – полиномы относительно переменных.

Частный случай.

. (2.20)

Пример.

– усилитель.

- инерционное звено 1-го порядка;

- идеальное интегрирующее звено;

- апериодическое звено 2-го порядка (если действительные корни) и колебательное звено (если комплексные корни).

2. Каноническая форма.

, (2.21)

где – корни характеристического уравнения

.

.

Пример.

.

.

3. Форма простых сомножителей.

(2.22)

b – числитель (равен общему коэффициенту передачи).