Структура имитационных моделей

Перед началом разработки имитационной модели необходимо понять, что представляют собой структурные элементы, из которых она строится. Хотя математическая или физическая структура модели может быть очень сложной, основы её построения весьма просты. В самом общем виде структуру модели можно представить математически в виде

(2.6)

где Е - результат действия системы; - управляющие параметры; - управляемые параметры; - функциональная зависимость между которая определяет величину Е. Каждая модель представляет собой комбинацию следующих составляющих:

• компоненты;

• параметры;

• функциональные зависимости;

• ограничения;

• целевые функции.

Под компонентами понимаются составные части, элементы или подсистемы, которые при соответствующем объединении образуют систему. При этом система определяется как группа, или совокупность объектов, объединённых некоторой формой регулярного взаимодействия или взаимозависимости для выполнения заданной функции.

Параметры – это количественная характеристика некоторого свойства системы.

Например, в уравнении число 3 есть параметр, - переменные, так как оператор может задать или

Для распределения Пуассона, где вероятность задаётся функцией представляет собой параметр распределения, х является переменной величиной, а е - константой.

В модели системы различают переменные двух типов - экзогенные иэндогенные.

Экзогенные переменные называются также входными; они порождаются вне системы или являются результатом воздействия внешних причин.

Эндогенными называются переменные, возникающие в системе или в результате воздействия внутренних причин. Эндогенные переменные также называют переменными состояния (когда они характеризуют состояние или условия, имеющие место в системе) либо выходными переменными (когда речь идёт о выходах системы). Экзогенные переменные называют иногда независимыми, а эндогенные - зависимыми.

Функциональные зависимости описывают поведение переменных и параметров в пределах компонента или выражают соотношения между компонентами системы. Эти соотношения или операционные характеристики, по своей природе являются либо детерминистскими, либо стохастическими. Детерминистские соотношения - это тождества или определения, устанавливающие зависимость между определёнными переменными или параметрами в тех случаях, когда процесс на выходе системы однозначно определяется заданной информацией на входе. В отличие от этого стохастические соотношения представляют собой такие зависимости, которые при заданной входной информации дают на выходе неопределённый результат. Оба типа соотношений обычно выражаются в виде математического уравнения, которое устанавливает зависимость между эндогенными переменными (переменными состояния) и экзогенными переменными. Обычно эти соотношения можно строить лишь на основе гипотез или выводить с помощью статистического или математического анализа.

Ограничения представляют собой устанавливаемые пределы изменения значений переменных или ограничивающие условия распределения и расходования тех или иных ресурсов (энергии, времени, оперативной памяти и т. д.). Они могут вводиться либо разработчиком (искусственные ограничения), либо самой системой, вследствие присущих ей свойств (естественные ограничения). Большинство технических требований к системам представляют набор искусственных ограничений. Естественные ограничения обусловлены самой природой и её законами. Искусственные ограничения могут быть изменены в ходе исследований, а естественные ограничения - нет.

Целевая функция или функция критерия - это точное отображение целей или задач системы и необходимых правил оценки их выполнения. Существуют два типа целей: сохранение и приобретение. Цели сохранения связаны с сохранением и поддержанием каких-либо ресурсов (временных, энергетических и т. д.) или состояния (уровня, безопасности и т. д). Цели приобретения связаны с приобретением новых ресурсов или достижением определённых желаемых состояний. Выражение для целевой функции должно быть однозначным определением целей и задач, с которыми должны соизмеряться принимаемые решения. Понятие «критерий» определяется как мерило оценки, правило или вид проверки, при помощи которых составляется правильное суждение о чём-либо. Определение критерия оказывает громадное влияние на процесс создания модели и манипулирования с ней. Функция критерия (целевая функция) обычно является неотъемлемой частью модели, и весь процесс манипулирования с моделью направлен на оптимизацию или удовлетворение заданного критерия.

Типовая структура системы автоматического управления представлена на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Структура системы автоматического управления:

х(t) — вектор входных (задающих) воздействий

v(t) — вектор возмущающих воздействий

e(t) — вектор сигналов ошибки

u(t) — вектор управляющих воздействий.

z (t) — вектор состояний системы

у(t) — вектор выходных переменных, обычно у (t)=z (t).

Систему автоматического управления возможно разбить на несколько подсистем с характеристиками , параметрами , входными воздействиями , воздействиями среды . При этом необходимо так проводить разбиение на подсистемы, чтобы построение моделей отдельных подпроцессов было элементарно и не вызывало трудностей при формализации. Тогда математической моделью системы будет служить система вида:

(2.7)

При имитационном моделировании систем автоматического управления составляют структуры управляющей системы и объекта управления, задают входные воздействия и начальные значения вектора состояний системы и проводят моделирование работы САУ с целью определения поведения системы во времени: максимального значения ошибки, времени переходных процессов, степени устойчивости системы.

При построении моделей сложных объектов стремятся к упрощениям. Упрощение может осуществляться двумя путями: 1) пренебрежение деталями, что связано с потерей точности, сужением области применения; 2) использование идеи декомпозиции сложного объекта, когда упрощение достигается за счёт разбиения объекта на части, характерные зоны, операции. В этом случае сохраняются все достоинства сложной модели, но облегчается её составление и использование.

Суть принципа декомпозиции заключается в том, что если отдельные подпроцессы единого процесса разделены во времени, а в аппарате или процессе можно выделить несколько специфических зон, то задача описания сводится к математическому описании: отдельных частей или зон, т. е. составлению моделей отдельных частей. Последним этапом является решение обратной задачи декомпозиции - стыковки моделей элементов в единую модель.

Принцип агрегирования состоит в том, что в большинстве случаев сложную систему можно представить состоящей из агрегатов или подсистем, для адекватного математического описания которых оказываются пригодными некоторые стандартные математические схемы. Полученная таким образом модель называется агрегативной моделью. Принцип агрегирования позволяет, кроме того, достаточно гибко перестраивать модель в зависимости от задач исследования.

Каждая модель перед использованием должна быть проверена на адекватность. Под адекватностью следует понимать точность прогноза по модели поведения реальной системы, выраженную в количественных показателях.

Адекватность математического описания в экспериментально полученных моделях может быть количественно оценена, путём сопоставления экспериментальных и полученных по модели результатов. Сравниваются остаточная дисперсия и дисперсия воспроизводимости по табличным статистическим критериям Фишера при известных величинах степеней свободы и и уровней значимости Остаточная дисперсия не должна значимо отличаться от дисперсии воспроизводимости . Сравнение по критерию Фишера указывает на адекватность регрессивной модели:

(2.8)

Во многих случаях, когда количественная оценка адекватности невозможна, или не требуется, например, если моделируется проектируемый объект, допустима проверка, в ходе которой достигается приемлемый уровень уверенности исследователя в правильности предсказанного по модели поведения системы.

Проверка выполняется на качественном уровне и допускает несколько этапов:

1 этап. Проверка модели на абсурдные решения. Если решения предсказуемы, модель можно считать адекватной объекту. Непредсказуемость результатов не обязательно указывает на неправильность модели, это допустимо для малоизученных объектов.

2 этап. Чтобы убедиться в законности непредсказуемого поведения, необходимо сначала проанализировать правильность исходных предположений, допущений и ограничений. В случае их непротиворечивости, проверить правильность преобразования информации в самой модели (формулы, уравнения, алгоритмы, программы). После чего делаются окончательные выводы.

Высокая точность модели требуется не всегда и приводит как к повышению полезности модели, так и к повышению её стоимости. Как правило, существует экстремум функции выгоды/затраты, соответствующий рациональной точности, дальнейшее повышение которой нецелесообразно (см. рис.2.3).

Рис. 2.3. К объяснению рациональной точности модели