Теоретическая часть

Построение математических моделей с использованием только аналитических методов, как правило, трудно реализуемо на практике из-за недостатка необходимой информации о моделируемом процессе или объекте. Поэтому, помимо аналитического подхода используют и экспериментальные методы, позволяющие определить или получить необходимые для построения модели данные либо собственно математическое описание объектов в упрощенном (обобщенном) виде.

К недостаткам экспериментальных методов можно отнести следующие моменты:

1) локальность математической модели, получаемой по эксперименту;

2) большие временные затраты на постановку эксперимента;

3) возможные материальные и финансовые затраты на постановку и проведение эксперимента.

Все экспериментальные методы имеют три основных составляющих, которые необходимо пройти для построения математической модели.

1) Собственно планирование проводимых необходимых экспериментов.

2) Проведение экспериментов и фиксирование получаемых результатов.

3) Обработка полученных данных.

Планирование экспериментов основано на представлении объекта как «черного ящика» (рис. 6.1), т.е. в процессе исследования изучается влияние входной переменной (фактора) x на выходную переменную (реакцию, отклик) y.

Для того, чтобы получить статическую характеристику объекта с k входами: Х(х₁,...,х_k) и одним выходом yв некоторой области D_x, необходимо задавать поочередно на входе объекта значения входным переменным

Измеряя на выходе соответствующие установившиеся значения y, получим таблицу значений выходной переменной y₁,..., y_N. Значения Х⁽ⁱ⁾ и соответствующие им y_i задают в табличном виде искомую статическую характеристику.

6.2.1 Основная идея регрессионного анализа

Для исследования взаимосвязи между величинами Х (вход) и y (выход) используются методы корреляционного и регрессионного анализа. Результаты корреляционного анализа позволяют сделать вывод о степени зависимости между переменными, а форма зависимости уточняется методами регрессионного анализа.

На значение величины y оказывают влияние стохастические воздействия разного рода, поэтому форма связи между величинами Х и y определяется линией регрессии, показывающей, как в среднем изменяется величина yпри изменении входной величины Х, т.е. приходится говорить о связи средних значений величиныy c X. Эту связь характеризуют условным математическим ожиданием величины y, вычисляемым при условии, что величина Хприняла определенное значение, а аппроксимирующая функция строитсякак функция регрессии f(X, B) » M[y/X], где B - неизвестные параметры уравнения регрессии.

Задача регрессионного анализа ставится следующим образом. Для каждого i-го опыта имеется набор значений (x_i1,...,x_ik) входных параметров
X₁ ¸X_k и соответствующее им значение выходного параметра y_i. Пример опытных данных приведен в табл. 6.1.

Таблица 6.1 – Пример опытных данных.

Необходимо определить зависимость выхода y от входных факторов x_i1,...,x_ik, которая для случая линейной связибудет иметь следующий вид:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂+ ... + b_kx_k(1)

Задача сводится к определению оценок коэффициентов уравнения регрессии b₀, b₁, ... , b_k, которые с определенной степенью вероятности будут отражать влияние аргументов x_i1,..., x_ik на y.

Для определения b_kиспользуется метод наименьших квадратов.

Таким образом, задача сводится к минимизации:

(2)

где y_i - фактическое (экспериментальное) значение выходной переменной,

- рассчитанное значение выходной переменной.

Можно выражение (2) представить с учетом (1):

(3)

То есть, процесс сводится к нахождению таких значений коэффициентов b₀, b₁, ... , b_k, которые давали бы минимальное расхождение между расчетными и измеренными значениями y.

Это условие может быть выполнено, если приравнять к нулю частные производные S по каждому из коэффициентов b₀, b₁, ... , b_k и просуммировать их по индексу i. В результате получается система обычных уравнений (4):

(4)

Решая эту систему, получают коэффициенты модели (1) и, как следствие, явный вид уравнения регрессии для случая линейной связи.

Таблица 6.2

Проведено 10 экспериментов, результаты которых приведены в табл. 6.2 С учетом введенных ранее обозначений n=10, k=1. Для случая одного входного параметра искомое уравнение регрессии будет иметь вид y = b₀ + b₁x₁