Состояний для исследования процессов в электрической цепи

В электрических цепях в качестве переменных состояния принято рассматривать мгновенные значения напряжений на емкостях и токов через индуктивности. Это обусловлено тем, что мгновенные значения напряжений на емкостях и токов через индуктивности удовлетворяют следующим требованиям:

− полностью определяют состояние цепи в любой момент времени;

− являются линейно-независимыми;

− однозначно определяют запас энергии в цепи;

− по ним могут быть определены любые другие токи и напряжения.

Правило 1.Количество переменных состояния системы равно количеству реактивных элементов в цепи.

Правило 2.Токи тех ветвей цепи, которые не содержат реактивных элементов, не должны входить в систему уравнений состояния, их следует исключать.

Пример 28. Рассмотрим электрическую цепь третьего порядка (рис. 8.3). В качестве переменных состояния примем:

(8.45)

Следовательно, вектор состояния

(8.46)

Согласно законам Кирхгофа

(8.47)

Исключим все неизвестные, не являющиеся переменными состояния. Для этого ток i₂ выразим через :

(8.48)

и сделаем подстановку выражения (8.48) в систему (8.47):

(8.49)

Приведем систему уравнений (8.49) к форме Коши (к нормальной форме). Уравнения запишем в порядке, соответствующем индексу переменных состояния:

(8.50)

или в векторно-матричной форме при заданных начальных условиях

(8.51)

где

u(t) = e;

Уравнение (8.51) решается любым численным методом.

В большинстве задач невозможно получить сразу готовую систему уравнений состояния, так как в каждом уравнении присутствуют производные нескольких переменных состояния и обычным путем они не разделяются. В таких задачах предлагается поступить следующим образом. Производные переменных состояния принимают за искомые величины x₁, x₂, x₃, ... , x_n. Остальные члены уравнений принимают за свободные члены. В результате исходная система решается как обычная система линейных алгебраических уравнений соответствующим методом решения СЛАУ.