В операторной форме

Передаточная функция в операторной форме получается формальным путем из дифференциального уравнения.

Пусть физическая система описывается линейной математической моделью вида:

a₂y′′(t) + a₁y′(t) + a₀y(t) = b₁x′(t) + b₀x(t). (7.22)

Введем оператор , обозначающий операцию дифференцирования. Сделаем подстановку его в дифференциальное уравнение (7.21):

a₂p²y(t) + a₁py(t) + a₀y(t) = b₁px(t) + b₀x(t) (7.23)

или

(a₂p² + a₁p + a₀)y(t) = (b₁p + b₀)x(t). (7.24)

Введем понятие операторов:

A(p)=a₂p²+a₁p+a₀, (7.25)

B(p)=b₁p+b₀. (7.26)

Сделаем подстановку выражений (7.24) и (7.25) в уравнение (7.23):

A(p)y(t)=B(p)x(t) – (7.27)

это запись дифференциального уравнения (7.21) в операторной форме.

Передаточная функция в операторной форме

(7.28)

Тогда дифференциальное уравнение (7.21) можно записать в виде:

y(t) = W(p)x(t). (7.29)

Передаточные функции W(s) и W(p) могут служить достоверным математическим описанием физической системы только при нулевых начальных условиях.

Для стационарных систем передаточные функции в форме изображения Лапласа W(s) и в операторной форме W(p) совпадают. На этом основании при рассмотрении линейных стационарных систем будем оперировать обобщенным термином «передаточная функция W(p)», полагая, что p – комплексная переменная.

Значение переменной p, при котором функция W(p) обращается в нуль, называется нулем передаточной функции. Значение p, при котором функция W(p) обращается в бесконечность, называется полюсом передаточной функции.

Если приравнять к нулю полином числителя передаточной функции W(p):

, (7.30)

то корни уравнения (7.30) будут являться нулями W(p).

Если приравнять к нулю полином знаменателя передаточной функции системы W(p):

, (7.31)

то корни уравнения (7.31) будут являться полюсами W(p).

По расположению нулей и полюсов на комплексной плоскости делают вывод о свойствах исследуемой системы.

Передаточная функция является самой компактной математической моделью, описывающей динамические свойства системы, и дает исчерпывающую характеристику взаимосвязи – «вход – выход».