Пусть физическая система (см. рис. 4.1) описывается математической моделью в форме линейного дифференциального уравнения
a2y″(t)+a1y′(t)+a0y(t) = b1x′(t)+b0x(t) (7.11)
при нулевых начальных условиях:
y(0) = y′(0) = 0.
Применим преобразование Лапласа:
(7.12)
Используя свойствалинейности и дифференцирования оригинала, получим:
(7.13)
или
. (7.14)
Выразим отношение изображения выходной величины Y(s) системы к изображению входной величины X(s):
(7.15)
где 
– передаточная функция системы в форме изображений Лапласа.
Рассмотрим физическую систему с двумя входами (рис. 7.1).
Если физическая система имеет несколько входов, то она может быть описана несколькими передаточными функциями по каждому входу.
При определении передаточной функции относительно одной из входных величин остальные входные величины полагаются равными нулю.
Пусть физическая система описывается математической моделью вида:
a3y′′′(t)+a1y′(t)+a0y(t)= b2x′′(t)+b0x(t)+c0f(t) (7.16)
при нулевых начальных условиях.
Перейдем к изображениям Лапласа:
(7.17)
Положим F(s) = 0, тогда передаточная функция относительно входа x(t)
(7.18)
Положим X(s) = 0, тогда передаточная функция относительно входа f(t)
(7.19)
Для линейной физической системы с несколькими входами и выходами (рис. 7.2) передаточная функция превращается в матричную передаточную функцию:
(7.20)
где
– (7.21)
передаточная функция между i-м входом и j-м выходом.
