Результатов моделирования

Когда наступает правило автоматической остановки машинного эксперимента с моделью, в моделирующем алгоритме управление передается операторам и блокам, осуществляющим обработку и анализ полученных статистических данных и результатов моделирования. Рассмотрим наиболее распространенные методы и процедуры оценки и анализа результатов статистического моделирования систем и процессов.

а) Оценки среднего значения и дисперсии. Пусть исследуемая характеристика в общем случае является случайной величиной, которую мы обозначим через Х, с заданным законом распределения f_X(x), - ¥ £ x £ + ¥. Первые два момента этой случайной величины – математическое ожидание M[X] и дисперсия D[X] определяются с помощью формул

m_Х = M[X] = (5.8)

s_Х² = D[X] = (5.9)

При моделировании мы получаем эмпирические оценки этих величин в виде

(5.10)

S_X² = (1/(N – 1)) (5.11)

В этих соотношениях величина N по-прежнему характеризует объем выборки. Относительно оценок и S_X² говорят об их несмещенности, состоятельности и эффективности. Более подробно об этих понятиях речь пойдет в разделе построения зависимостей, здесь же отметим, что несмещенность оценок означает, что

а) M[ ] = m_Х; (5.12)

б) М[ S_X²] =s_Х²; (5.13)

Рекомендуется выполнить доказательство этих соотношений самостоятельно, учитывая при этом, что величины x_i, i = 1, … , N, также распределены по закону f_X(x).

Оценка называется состоятельной, если имеет место условие

, (5.14)

где e - произвольная положительная величина.

Наконец, эффективность оценки означает, что она имеет минимальную дисперсию, которая, как легко можно доказать (это доказательство также поручается выполнить самостоятельно)

D[ ] = s_Х²/ N. (5.15)

Как следует из этой формулы, при возрастании N дисперсия оценки стремится к нулю, что содержательно согласуется с формулой (5.14).

Точность оценки устанавливается с помощью соотношения (4.5), на основе которого получается связь между объемом выборки, точностью оценивания и доверительной вероятностью (см. пункт 4 настоящего раздела). Так как с учетом (5.15) условие

P_r{| - m_Х | £ e} = P₀ (5.16)

эквивалентно условию

P_r{- e / (s_x/ ) £ ( - m_Х ) /(s_x/ ) £ e / (s_x/ ) = P₀, (5.17)

для искомой связи получаем формулу

N = s_x² U_a² / e ², (5.18)

где величина U_a - квантиль нормального закона распределения.Итак, согласно формуле (5.18), для нахождения объема выборки, необходимо знать величины s_x, U_a и e.

В процессе моделирования величина (5.10) может образоваться в одной лишь ячейке памяти, значение которой после завершения моделирования делится на N. Для формирования оценки дисперсии (5.11), удобно воспользоваться формулой

S_X² = { }/ (N - 1). (5.19)

Тогда для формирования этой информации непосредственно в процессе моделирования необходимо всего две ячейки памяти для хранения суммы величин x_i и их квадратов x_i², i=1, … , N. Для иллюстрации рассмотрим следующие практические примеры.

Пример 1. Фирме необходимо оценить среднесуточный объем продукции так, чтобы с вероятностью 0.95 ошибка оценивания составляла не более ± 4 единиц, причем разумный допустимый размах колебаний продукции составляет 80 единиц.

В терминах формулы (5.16) задача заключается в нахождении оценки , которая с вероятностью 0.95 лежала внутри интервала ± 4, так что точность оценивания составляет = 4, а при отсутствии информации о дисперсии суточного объема продукции в качестве разумного размаха колебаний принимается величина 4s_х, так что 4s_х = 80 и s_х = 20. Доверительной вероятности P₀ = 0.95 соответствует табличное значение U_a = 1.96. Подставляя эти значения в формулу (5.18), находим

N = s_x² U_a² / e ² = 96.

Пример 2. Необходимо найти объем выборки (прогона модели) N, чтобы искомая оценка с доверительной вероятностью P₀ = 0.95 лежала в пределах ± s_х/4. В этой постановке задачи, в отличие от предыдущего примера, нет информации ни о разумном размахе колебании, ни об среднеквадратическом отклонении s_х, но, согласно условиям задачи, = s_х/4. Тогда по формуле (5.18) получим

N = (1.96s_x) ² /(s_х/4) ² = 61.

Пример 3. Определение объема выборки на основе неравенства Чебышева. Неравенство Чебышева имеет вид

Pr{|x - m| > k} £ 1/k².

Это неравенство позволяет решить следующую задачу: найти объем выборки, при котором искомая оценка попадает в интервал ± s_х/4 с заданной доверительной вероятностью P₀ = 0.95. В терминах неравенства Чебышева это означает, что

Pr{| - m| > s_х/4} £ 0.05,

так как согласно (5.16) имеем

Pr{ m - e £ £ m +- e } = 1 - a = 0.05,

Откуда следует, что

Pr{/m - / > ,

так как k = и 1/k² = 4²/ N. На основе этих соотношений получаем оценку N = 320.

Напомним, что, согласно неравенстве Чебышева, в выборке объема N по меньшей мере 1 – 1/ k² измерений находятся вблизи среднего значения на расстоянии не более k среднеквадратических отклонений.

Пример 4. Необходимо определить объем выборки, при которой эмпирическая оценка дисперсии отличается от дисперсии случайной величины не более чем на 5% с доверительной вероятностью P₀ = 0.95. Чтобы решить эту задачу, воспользуемся формулой

Pr{ (1 – d) s_х² £ S_x² £ (1 + d) s_х²} = 1 - a = 0.95.

В этой формуле величина d, 0 £ d £ 1, очевидно, характеризует степень близости оценки S_x² к истинной дисперсии s_х². В практическом плане удобнее в этом выражении для доверительной вероятности использовать c² - статистику (N – 1) S_x²/s_х² c N – 1 степенями свободы. Эта статистика позволяет сделать доверительную вероятность не зависящей от величины s_х². При достаточно большом значении выборки N распределение c² можно аппроксимировать нормальным законом распределения и получить формулу

U²_a/2 = d ²(N – 1)/2,

N = 1 + 2(U_a/2)²/ d ².

Подставляя в эту формулу численные значения U_a/2 = 1.96, d = 0.05, получим для объема выборки значение N = 3074. Интересно отметить, что если в качестве допустимого отклонения S_x² от s_х² выбрать не 5%, а 10%, то объем выборки будет равен N = 769.

б) Оценка вероятности события. Предположим, что в результате моделирования оценивается вероятность появления некоторого события А с предполагаемой (априорной, ожидаемой и т. д.) вероятностью р_А. Обозначим через m количество благоприятных исходов в N независимых экспериментах. Тогда отношение m/N выступает в качестве эмпирической оценки вероятности р_А. Точность этой оценки (и процесса оценивания) можно установить на основе формулы

P_r{| р_А - m/N| £ e} = P₀. (5.20)

Обозначим через x₁ = 1 положительный исход экспериментов, а через x₂ = 0 – отрицательный их исход. Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х с такими реализациями будут равны соответственно величинам

а) M[X] = p_A x₁ + (1 – p_A)x₀ = 1p_A + 0(1 - p_A) = p_A; (5.21)

б) D[X] = (x₁ – p_A)²p_A + (x₀ – p_A)²(1 - p_A) = p_A (1 - p_A). (5.22)

С другой стороны, соответствующие эмпирические оценки будут равны

с) M[ ] = М[m/N] = (1/N)M[ ] = N(1/N)M[X] = p_A; (5.23)

д) D[ ] = (1/N²)D[ ] = p_A (1 - p_A)/N. (5.24)

Заметим теперь, что согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, при достаточно большом значении N распределение оценки m/N будет приближаться к нормальному закону распределения вероятностей, поэтому формула (5.20) для этого случая примет форму

P_r{ р_А - e £ m/N £ р_А + e} = f(u) - f(v) = P₀, (5.25)

где f(.) – функция вероятности (функция Лапласа) со свойствами f(-u) = 1 - f(u),

u =( p_A + e - p_A) ;

v = ( p_A - e - p_A) .

Из этих соотношений непосредственно следует формула

e = U_a, (5.26)

где U_a - квантиль нормального распределения вероятностей, соответствующий уровню значимости a = (1 – P₀)/2. Удобно представить формулу (5.26) в виде

N = U_a²p_A(1 – p_A)/ e ², (5.27)

связывающей количество реализаций с точностью и достоверностью оценки m/N. Если априорная вероятность p_A наступления события неизвестна, можно проводить пробные эксперименты объема N₀, по этой величине оценить p_A, затем проводить моделирование и оценивание, как было описано выше.

в) Оценка коэффициента корреляции. Пусть необходимо с помощью результатов моделирования оценить коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y с экспериментальными данными {x_i} и {y_i}, i= 1, … , N. Обозначив через s_x и s_y среднеквадратические отклонения этих величин, а через S_x и S_y – соответствующие эмпирические оценки, для эмпирической оценки коэффициента корреляции между случайными величинами X и Y получим выражение

k_xy = (5.28)

Эту величину удобно преобразовать в форму

k_xy = , (5.29)

откуда видно, что для формирования на ЭВМ необходимо будет использовать три ячейки памяти для запоминания сумм и произведения членов рядов {x_i} и {y_i}, i= 1, … , N.

г) Оценка среднего значения и корреляционной функции случайного процесса. Предположим, что результатом моделирования является некоторый случайный процесс X(t), t Î [0, T]. C целью получения оценок искомых величин интервал [0, T] разбиваем на отрезки с постоянным шагом Dt и фиксируем значения процесса x_k(t) в фиксированные моменты времени t = t_m = mDt, m = 1, 2, …, T/Dt. Тогда при обработке результатов моделирования в качестве оценки среднего значения процесса можно выбрать функцию

(5.30)

а в качестве оценки корреляционной функции

B(t_i, t_j) (5.31)

где t_i и t_j пробегают все значения t_m = mDt, m = 1, 2, …, T/Dt. С целью рациональной организации памяти ЭВМ в процессе моделирования удобно представить (5.31) в форме

B(t_i, t_j) (5.32)