Массового обслуживания.

Задача 1. На входе одноканальной СМО действует простейший поток. Средняя величина интервала между моментами поступления заявок равна 70 (ед. вр.), а средняя продолжительность обслуживания равна 90 (ед. вр.)

Построить закон распределения количества заявок N(t) и найти среднее количество поступивших заявок за t = 1000 (ед. вр.). Считая закон обслуживания экспоненциальным, оценить установившееся значения параметров системы: вероятность наличия и отсутствия заявок, среднее время ожидания, обслуживания пребывания заявок в системе, коэффициент загрузки канала, среднюю длину очереди, среднее число заявок в системе.

Используя случайные числа (0.39, 0.05, 0.30, 0.22, 0.91), посчитать для первых пяти заявок моменты поступления, промежутки времени между этими моментами, время обслуживания.

Задача 2. Используя наборы случайных чисел {7,5,8,4,2,9,16,8,13,5} и {10,3,11,4,16,10,2,7,16,20} для моделирования интервалов поступления заявок и обслуживание их единственным каналом, провести моделирование процесса прохождения этих 10 заявок и оценить среднее время ожидания и пребывания заявок в системе. Представить результаты в виде таблицы.

Результаты моделирования

j

Задача 3. При моделировании равномерного распределения в (0,1) на ЭВМ, вместо непрерывной совокупности равномерно распределённых в (0,1) случайных чисел, используют дискретную последовательность случайных чисел квазиравномерного распределения где k- разрядность чисел (длина машинного слова). Показать, что и сравнить эти оценки с аналогичными параметрами непрерывного распределения. Вероятность появления равна При выводе формулы для дисперсии воспользоваться известными формулами и

Задача 4. Используя наборы случайных чисел задачи 2, произвести моделирование двухканальной СМО и оценить среднее время ожидания и пребывания заявок в системе, а также простои каналов.

Представить результаты моделирования в виде таблицы, приведенной в задаче 2. В качестве правила выбора свободного канала выбрать min где моменты освобождения каналов в моменты поступления заявок

Задача 5. Оценить основные характеристики работы многоканальной СМО при следующих значениях параметров распределения входа и обслуживания:

Задача 6. На основе метода обратной функции построить моделирующий алгоритм и логическую схему для генерации последовательности распределенных по равномерному закону в интервале (а,b) случайных величин.

Задача 7. Пусть последовательность событий { , к = 1, ... , n, составляет полную группу с вероятностями Построить моделирующий алгоритм и его логическую схему для этой последовательности.

Задача 8. Независимые события A и B заданы вероятностью наступления и Составить моделирующий алгоритм и его логическую схему для моделирования сложного события C = (A, B). Сравнить этот алгоритм с алгоритмом моделирования полной группы событий

Задача 9. События A и B зависимы и имеют вероятность наступления Построить моделирующий алгоритм и его логическую схему для моделирования сложного события C = (A, B). Рекомендуется при этом воспользоваться уравнением для условной вероятности

2.7. Построение зависимостей

Одна из стандартных задач машинного эксперимента с моделями исследуемых и проектируемых систем связана с построением надежных зависимостей между рядом факторов и ожидаемым целевым эффектом, которые характеризуют эти объекты. Например, обеспечение результативности и эффективности управления современными организациями предполагает проведение разнообразных исследований и экспериментов, цель которых заключается в диагностике возникших проблем, аномальных ситуаций и тенденций, установлении причин их возникновения и развития, нахождении приемлемых средств и путей их разрешения в рамках ограниченных ресурсов.

Предметом исследований становятся, как подсказывает научная методология, объекты и субъекты управления, сложившиеся формальные и неформальные отношения между ними и внешней средой. Особенно актуальны исследования, направленные на выявление ключевых показателей менеджмента, системообразующих факторов деятельности организации, ее строения и развития.

Центральное место среди характеристик организационной деятельности современных фирм и компаний занимает их производственная функция, устанавливающая в явном виде соотношения между «выходом» (или совокупным выпуском) и главными экономическими факторами – объемом живого труда (рабочей силы) и объемом основных фондов (совокупных активов). Сложность взаимосвязи между названными ситуационными переменными и доходностью организации настолько высока, что прямое аналитическое моделирование причинно-следственных связей оказывается малоэффективным. Вследствие этого в настоящее время все чаще прибегают к применению машинного эксперимента и экспериментально-статистических методов, основанных на обработке временных рядов, соответствующих результатам наблюдений за исследуемыми характеристиками (в нашем случае – производственные факторы и совокупный выпуск) в ограниченном промежутке времени. Если такая выборка получена в результате эксперимента с моделью организации, то аппарат регрессионного и корреляционного анализа позволяет аппроксимировать искомую зависимость с помощью функций заданного класса и исследовать степень адекватности построенной зависимости результатам эксперимента (или реального наблюдения). Если адекватность будет подтверждена, построенное соотношение может быть использовано для практических целей, в противном случае расширяют класс используемых функций и продолжают процесс построения.

Согласно современным исследованиям существует наиболее устраивающее соотношение между такими важными показателями деятельности организаций, как активы, темпы роста, прибыль и потоки денежных средств. Роль эффективного управления заключается в том, чтобы способствовать поиску и реализации этих соотношений как основы устойчивости и развития в условиях конкуренции. Построение и исследование производственных функций способствует успешному решению этой проблемы, кроме того, на их основе осуществляется аналитическое проектирование сложных социально-экономических систем, служащее целям описания, объяснения, экспериментирования, сопоставления и выбора наилучших стратегических решений и действий.

Производственная функция и различные формы ее представления. Ежегодная отчетная информация фирм, занимающихся производственной деятельностью, обычно составляется на основе трех важных документов финансовой отчетности: баланса, отчета о прибылях и убытках, отчета о движении денежных средств. Содержащиеся в них данные позволяют менеджерам фирмы оценить ключевые показатели деятельности и предпочтительные соотношения между ними для целей выработки и реализации стратегических решений и действий. Производственная функция, как было сказано во введении, позволяет описать аналитическую связь между выпуском фирмы Y_t , объемом труда L_t и совокупным капиталом К_t в виде

Y_t = F(L_t, К_t, t), (7.1)

где t – дискретные моменты времени, t = 1, 2,…, N, F – заданная функция.

Хорошо известно, что производственная функция обладает свойством мультипликативности, что служит основой описания эффекта масштаба производства. В частности, если факторы К_t и L_t изменятся в n раз, тогда:

Y_t = F(nL_t, nК_t, t) = n^α+β F(L_t, К_t, t), (7.2)

где α и β – заданные параметры. Если α+β > 1, то имеет место интенсивное развитие производства, при α+β = 1 происходит экстенсивный рост производства только за счет факторов L_t и К_t. Случай α+β < 1 соответствует падению эффективности производства от роста масштаба производства. Если функция (1.1) задана в явном виде, то с ее помощью можно вычислить и исследовать два важных коэффициента эластичности: по фактору L_t

(7.3)

и по фактору К_t

(7.4)

Эти коэффициенты показывают, насколько изменится величина Y_t , если величина соответствующего фактора L_t или К_t увеличится на 1%.

Другой важной характеристикой, которая устанавливается на основе связи (1.1), является предельная норма замещения (ПНЗ) между факторами L_t и К_t. Пусть приращения dL_t и dК_t таковы, что имеет место

F(L_t, К_t, t) = F(L_t + dL_t, К_t + dК_t, t). (7.5)

В пространстве факторов L_t и К_t это отношение соответствует поверхностям равных уровней функции, называемых изоквантами

F(L_t, К_t, t) = const, ( 7.6)

Для любой точки этой поверхности справедливо равенство

(7.7)

Величина

(7.8)

известна как предельная норма замещения между L_t и К_t. Она показывает, насколько нужно изменить факторы L_t и К_t одновременно (увеличив один из них и уменьшив другой), чтобы, согласно (1.6), сохранить достигнутый уровень Y_t .

Как следует из рис.7.1, величина μ совпадает со значением – tgα, где α – угол, образованный пересечением касательной l к поверхности F(L_t, К_t, t) = const в некоторой «рабочей» точке и оси ОL_t. Ценно также то, что перпендикуляр Р к касательной в этой точке показывает направление наискорейшего возрастания производственной функции Y_t = F(L_t, К_t, t). В современной научной литературе по теории полезности и многокритериальной оптимизации (см., например [4,5]) МНЗ характеризует относительную важность самих факторов L_t и К_t в произвольном состоянии .. В случае, когда функция Y_t = F(L_t, К_t, t) не задана в явном виде, величину μ можно приближенно оценить на основе дополнительной информации, получаемой от лиц, принимающих решение (ЛПР). Для этой цели удобно, вместо (1.8), воспользоваться конечно-разностным ее аналогом где - замещающие приращения факторов.

Рис. 7.1. Поверхности равных уровней производственной функции в пространстве факторов.

Рис. 7.1 показывает, что величину можно также оценить с помощью ношения δL/δК, так как между углами α и β имеется связь α = π/2 + β, следовательно, ctg β = - ctg (π/2 – α) = - tgα. Если по мнению ЛПР приращения ΔК_t и ΔL_t представляют наилучшие замещения для факторов К_t и L_t в состоянии , то δL и δК характеризуют идеальные пропорции между изменениями К_t и L_t по направлению наискорейшего возрастания функции Y_t = F(L_t, К_t, t) в рассматриваемом состоянии.

С величиной μ связано понятие эластичности замещения. Она определяется в виде

(7.9)

После введения обозначения х = К/L, выражение (7.9) примет вид

(7.10)

В таком виде эластичность замещения показывает, на сколько процентов надо изменить фондовооруженность при сохранении постоянства выпуска, чтобы величина ПНЗ изменилась на 1%. В практике используется также представление эластичности в виде

или же в виде формулы

что, конечно, выражают одну и ту же зависимость для величины σ.

В приложениях по экономико-математическому моделированию широкое распространение получили следующие формы производственных функций:

а) линейная производственная функция

(7.11)

б) функция Леонтьева

у_t = min {a₁L_t, a₂K_t}; (7.12)

в) производственная функция Кобба - Дугласа

(7.13)

или с учетом влияния научно-технического прогресса

(7.14)

г) производственная функция с постоянной эластичностью замещения

(7.15)

или с учетом влияния научно-технического прогресса

(7.16)

В выражениях (7.11) – (7.16) а₀, а₁, а₂, а₃– постоянные параметры, причем для соотношений (7.13) – (7.16) параметры а₁и а₂ удовлетворяют условию а₁+ а₂= 1.

Если в выражении (7.15) положить ρ = -1, то получается линейная связь (7.11). Можно показать, что при ρ→ 0 форма (7.15) перерастает в (7.13), а при ρ→ ∞ - в функцию Леонтьева (7.12), поэтому связь (7.15) называют обобщающей формой производственной функции.

Легко установить значение эластичности замещения (как меры возможности замещения капитала трудом и наоборот) для последних двух производственных функций. Для производственной функции с постоянной эластичностью σ = 1/(1+ ρ). Как справедливо отмечено в [..], производственная функция Кобба - Дугласа является «чемпионом» среди других моделей такого назначения и широко применяется в различных макро- и микроэкономических моделях для адекватного описания и объяснения экономических соотношений на уровне корпоративной, отраслевой, региональной, национальной или мировой экономики. Как простая и гибкая математическая схема, она нашла весьма удачное применение в исследованиях Месаровича и Пестеля в рамках известного проекта Римского Клуба, посвященного глобальным проблемам человечества в современной эпохе развития.

Учитывая это обстоятельство, в последующих разделах работы будут рассмотрены методы и процедуры построения и оценивания производственных функций типа Кобба -Дугласа с учетом или без учета роли научно-технического прогресса. Процедура построения искомой связи иллюстрирует применение метода наименьших квадратов для получения оценок параметров модели, а также известные критерии согласия построенной модели с имеющимися экспериментальными данными (критерии Стьюдента и Фишера).