Цель эксперимента с (адекватной) машинной моделью исследуемой и/или оптимизируемой системы заключается в получении необходимой информации о характеристиках процесса ее функционирования с учетом взаимодействия с внешней окружающей средой (функциональной средой системы). В общем случае эксперимент представляет собой некоторое преобразование совокупности «входных» воздействий в «выходные» воздействия или ожидаемые отклики (реакции системы на входные воздействия). Различают стратегическое и тактическое планирование эксперимента, которые вытекают из системного подхода и в целом аналогичны этапам внешнего и внутреннего проектирования систем и их компонентов. Рассмотрим вкратце основные задачи этих этапов планирования машинного эксперимента с моделями систем.
а) задачи стратегического планирования. Цель стратегического планирования заключается в том, чтобы обеспечить получение искомой информации об исследуемом объекте с помощью машинной модели в рамках имеющихся ресурсов и ограничений.
По меткому определению Р. Акоффа, план представляет собой желательную картину будущее и пути ее достижения. На стратегическом уровне в план эксперимента включаются входные (экзогенные) и выходные (эндогенные или целевые) факторы и число уровней для каждого из этих факторов. Пусть, для определенности, в планируемом конкретном эксперименте должны варьироваться ровно k факторов, каждый из которых имеет qi, i = 1, … , k, уровней. Тогда величина
Nc = q1q2…qk(5.1)
определяет общее количество экспериментально воспроизводимых «точек» (или элементов) k – мерного пространства факторов. Величина (5.1) определяет так называемую структурную модель плана эксперимента. Значительное аналитическое и экспериментальное упрощение получается в случае, когда для всех факторов принимается одно и тоже количество уровней, то есть, принимается, что q1 = q2 = … = q. Для такого плана эксперимента формула (5.1) превратится в зависимость
Nc = qk. (5.2)
Кроме структурной модели, строится также функциональная модель эксперимента, которая включает в себя необходимое количество различных информационных точек (или элементов). Если обозначить через Nфколичество элементов этой модели, то имеет место соотношение
Nф £ Nc. (5.3)
Если Nф = Nc, функциональная модель называется полной, а в случае Nф < Nc, функциональная модель называется неполной. Результат каждого конкретного эксперимента (или прогона модели) является случайной величиной, поэтому чтобы получить статистически значимые результаты эксперимента, необходимо каждую экспериментальную точку воспроизвести несколько раз, например, p раз. Тогда общее количество экспериментальных элементов будет равно величине
N = pqk. (5.4)
Большое практическое значение имеют так называемые диаграммы, изображающие роль каждого из параметров связи (5.4) в величине N. Для этой цели вычисляются и формируются отношения типа
а) (¶N/¶k)/(¶N/¶q) = qlnq/k;
б) (¶N/¶p)/(¶N/¶q) = q/kp;
в) (¶N/¶p)/(¶N/¶k) = 1/plnq.
Строив и исследовав диаграммы, соответствующие этим отношениям, можно оценить роль того или иного фактора эксперимента, в зависимости, например, количества уровней q. Для первого отношения выше уровня ¶N/¶k)/(¶N/¶q = 1, где имеет место неравенство ¶N/¶k > ¶N/¶q, единичное изменение числа факторов изменяет полное число машинных прогонов в большей степени по сравнению с единичным изменением числа уровней факторов. Обратное утверждение верно при выполнении условия ¶N/¶k < ¶N/¶q. Аналогично можно интерпретировать и два других отношения б) и в).
Таким образом, построение структурных и функциональных моделей планов эксперимента при применении статистического метода моделирования позволяет рационально использовать имеющиеся системные ресурсы для достижения поставленных целей.
б) Задачи тактического планирования. Тактическое планирование машинного эксперимента связано с задачей эффективного использования выделенных для проведения эксперимента системных (или машинных) ресурсов, а также определения целесообразных способов проведения этих экспериментов. Основные задачи тактического планирования разрабатываются в поддержку стратегического плана эксперимента и сводятся к следующему.
1) Учет начальных условий и их влияния на достижение установившихся результатов. Проблема начальных условий возникает в связи с тем, что, как и в реально функционирующих системах, при запуске машинной модели проходит некоторое время, прежде чем в модели установится равновесие и процесс достигнет своего установившегося состояния. Поскольку этот процесс зависит от начальных условий, то либо исключают начальную информацию о процессе, либо начальные условия подбирают таким образом, чтобы по возможности сократить время достижения установившегося состояния.
2) Проблема обеспечения точности и достоверности результатов моделирования. Точность и достоверность искомых результатов являются центральным вопросом любого исследования и моделирования. Эти факторы существенно зависят от количества прогонов машинной модели и объема экспериментальных данных. Как уже отмечалось выше, при статистическом методе моделирования результат любого эксперимента является случайной величиной, следовательно, построенные на основе обработки результатов оценки будут отличаться от истинных их значений.
Связь между требуемыми значениями точности и достоверности, с одной стороны, и необходимым количеством статистических данных устанавливается с помощью формулы
Pr{|E – | < e} = P0, (5.5)
в которой E – истинное значение некоторой характеристики моделируемой системы, - построенная по результатам моделирования оценка Е, e - точность оценивания, а P0 – доверительная вероятность. Другими словами, P0 – это вероятность того, что абсолютная величина разности |E – | меньше требуемого значения точности e. Форма связи параметров Nc, P0 и e будет установлена в следующем пункте раздела.
3) Проблема уменьшения дисперсии оценок. Проблема дисперсии тесно связана с
предыдущей проблемой обеспечения точности и достоверности результатов моделирования. Известны модели (например, модель «доходность - риск» для оценки и оптимизации финансовых и других проектов), в которых дисперсия (точнее, среднеквадратическое отклонение) оценок выступает в качестве меры риска для оценки проектных решений.
Для того чтобы уменьшить дисперсию (а, следовательно, и риск) в практике статистического моделирования применяются различные приемы, в том числе и так называемые коррелированные выборки. Основная цель этих процедур заключается в том, чтобы увеличить точность оценивания при заданном объеме выборки, или наоборот - уменьшить объем выборки при заданной величине точности оценивания.
Сущность метода коррелированных выборок можно иллюстрировать на следующем примере. Пусть сравниваются друг с другом два конкурирующих варианта S1и S2некоторой системы S путем сравнения показателей их функционирования E1 и E2. Обозначим через 1и 2соответствующие оценки этих характеристик, полученные путем статистического моделирования. Если в качестве меры (или критерия) близости этих вариантов выбрать функцию расстояния в виде
d(S1, S2) = | 1, 2|, (5.6)
тогда дисперсия этой меры, которую мы обозначим через D(d), при использовании коррелированных выборок {ri}1 и {ri}2для моделирования вычисляется по формуле
D(d) = D( 1) + D( 2) - 2k( 1, 2)s1 s2, (5.7)
где через k( 1, 2) обозначен корреляционный момент оценок 1 и 2, а через s1и s2 - соответствующие среднеквадратические отклонения этих оценок. Как видно из этого соотношения, наличие корреляции между оценками 1 и 2(т. е. k( 1, 2) ¹ 0) существенно уменьшает дисперсию оценки D(d). Разумеется, что в каждом конкретном случае необходимо исходить из специфики решаемой задачи и особенностей оцениваемых характеристик и требований к их точности.
4) Проблема выбора правила остановки имитационного эксперимента. Автоматическую остановку имитационного эксперимента можно осуществить либо по количеству реализаций (или прогонов модели) N*, либо по времени моделирования TM, либо же по величине требуемой точности оценивания исследуемых характеристик. Разумеется, что все эти варианты завершения процесса моделирования связаны друг с другом. Часто практикуется процедура предварительной прогонки машинной модели, например, в Nпрраз, далее по этой величине объема выборки оценивается точность и необходимую для обеспечения заданной точности величину выборки N*. Если при этом окажется, что N* £ Nпр, эксперимент завершается, а в случае N* > Nпр проводится еще N* - Nпр прогонов до остановки. В практике моделирования практикуются также различные вероятностные правила автоматической остановки. Важно, чтобы в каждом конкретном случае эти правила были корректными и легко осуществлялись на ЭВМ, без особых затрат системных ресурсов (памяти, времени и т. д.).
| < e} = P0, (5.5)