Аналитическое моделирование многоканальной СМО. Расчет характеристик системы

Логическая схема типовой структуры многоканальной СМО приведена на рис.2.3. Она содержит входной и выходной потоки, накопитель, m отдельных обслуживающих каналов (приборов). Если предположить, что на входе действует простейший поток заявок, а обслуживание по-прежнему подчиняется экспоненциальному закону распределения, можно получить аналитическое описание процесса обслуживания и в данном случае.

Рис.2.3 Логическая схема работы

многоканальной системы.

Для этой цели новь введем в рассмотрение вероятности наличия в системе n заявок в момент времени t>0, при начальных условиях

В отличии от одноканального обслуживания, в данном случае при наличии m обслуживающих приборов вероятность обслуживания одной заявки за промежуток времени будет равна при n < m, и при n ≥ m. С учетом этого для вероятности получим выражения

a) n = 0: P₀(t + = P₀(t)(1 - lDt) + P₀(t)lDt +

+ P₁(t)(1 - lDt) + n(Dt);

б) n < m: P_n(t + = P_n(t) )(1 - lDt)(1 - ) + P_n(t))lDt +

+ P_n-1(t) lDt(1 - ) + P_n+1(t)(1 - lDt)(n + 1) + n(Dt);

в) n ≥ m: P_n(t + = P_n(t) )(1 - lDt)(1 - m ) + P_n(t))lDtm +

+ P_n-1(t) lDt(1 - ) + P_n+1(t)(1 - lDt)m + n(Dt); (3.1)

Эти представления порождают соответствующие дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

а) n = 0; dP₀(t)/dt = - lP₀(t) + P₁(t);

б) n < m: dP_n(t)/dt = lP_n-1(t) – (l +n )P_n(t)+(n + 1) P_n+1(t);

в) n ≥ m: dP_n(t)/dt =lP_n-1(t)–(l+ m )P_n(t) + m P_n+1(t); (3.2)

Мы вновь имеем математическое описание марковских процессов рождения и гибели, имеющих место в природе и обществе.

Для того чтобы получить установившееся решение, в системе (3.2) нужно положить при t→ ∞. В результате получим

a) n = 0: - lP₀ + P₁ = 0;

б) n < m: lP_n-1 – (l + n )P_n + (n + 1) P_n+1 = 0;

в) n ≥ m: lP_n-1 – (l + m )P_n + m P_n+1 = 0. (3.3)

Система (3.2) конечно-разностных уравнений описывает процесс обслуживания в установившемся состоянии. Если предположить, что <1, то очередь будет ограниченной. Применяя метод математической индукции, из (3.3) получим для различных значений n:

a) 0 £ n £ m: P_n = P₀r ⁿ/n!,

б) n ³ m: P_n = P₀r ⁿ/m! m ^m-n. (3.4)

Величину находим из условия

P₀ = 1/( / n! + ! m ^{n - m}) =

= 1/( /n!+ !(1-r/m)). (3.5)

При выводе выражения (3.5) использовано тождество

! m ^{n - m}) = (r ^m/m!)

= !(1 - r / m).

в котором величина суммы конечна и равна т.к. < .

При m = 1 полученные соотношения совпадают с аналогичными соотношениями для одноканальной системы, как и следовало ожидать.

Практический интерес представляют следующие характеристики многоканальной системы массового обслуживания СМО:

а) вероятность того, что все каналы простаивают

P_r{N(t) = 0} = P₀; (3.6)

б) вероятность того, что все каналы заняты

P₃ = P_r{N(t) = n ³ m} = = P₀r ^m/m!(1 - r / m); (3.7)

в) вероятность того, что в очереди M заявок

P_r{N(t) = n = m + M} = P_{m + M} = P₀r ^{m + M} /m! m ^M ; (3.8)

г) среднее число свободных от обслуживания (простаивающих) заявок

M_c= !; (3.9)

д) коэффициент простоя системы

Kпр = M_c/m; (3.10)

е) коэффициент загрузки системы

K₃ = 1 - Kпр = (m - M_c) /m; (3.11)

ж) среднее число обслуживаемых заявок

N_об = nP_n + mP_n; (3.12)

з) средняя длина очереди

M₀ = P₃(r/m)/(1 - r/m) = P₀r ^m(r/m)/m!(1 - r/m)²; (3.13)

и) среднее число заявок в системе

N₀ = nP_n = M₀ + N_об =

= r + P₀r ^m(r/m)/m!(1 - r/m)²; (3.14)

к) среднее время обслуживания в очереди

T_об = 1/m; (3.15)

л) среднее время ожидания в очереди

Tож = P₃ /mm(1 - r/m); (3.16)

м) среднее время пребывания в системе

T_пр = T_об + Tож. (3.17)