Расчет движения гармонического осциллятора

Рассмотрим материальную точку массы , которая движется вдоль прямой под действием силы , где - координата точки, - время. Будем считать, что эта сила обусловлена пружиной жесткости . Запишем дифференциальное уравнение (второй закон Ньютона), описывающее движение материальной точки

. (2.1)

Зададим начальную координату точки и ее начальную скорость

. (2.2)

Частные решения уравнения (2.1) будем искать в виде

.

Подставляя эти выражения в (2.1) видим, что они являются решениями этого уравнения, если

. (2.3)

Уравнение (2.1) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Поэтому общее решение этого уравнения будем искать в виде линейной комбинации его частных решений

. (2.4)

Тогда

. (2.5)

Для нахождения произвольных постоянных и используем начальные условия (2.2). Подставляя (2.4) и (2.4) в (2.2), получаем . Тогда (2.4) приобретает вид

. (2.6)

Таким образом, мы получили точное решение уравнения (2.1) с начальными условиями (2.2). Видно, что это решение является периодическим с периодом

. Используя (2.3), запишем период колебаний гармонического осциллятора в виде , что согласуется с выражением (1.10), полученным из теории размерностей. Константа , которую мы не могли определить из соображений размерности, оказалась равной .

Закон движения гармонического осциллятора (2.6) можно представить в другом виде. Для этого перепишем (2.6) как

(2.7)

и обозначим

. (2.8)

Используя формулу косинуса суммы двух аргументов, преобразуем (2.7) к виду

. (2.9)

В выражении (2.9) представляет собой амплитуду колебаний, - фазу, а - начальную фазу колебаний гармонического осциллятора.