Глава 2. Одномерное движение материальной точки

1. Какие виды связи вы знаете? Какое государственное регулирование установлено в сфере связи и массовых коммуникаций?

2. Что такое Интернет с точки зрения современного правопонима- ния?

3. Назовите особенности правового регулирования интернет- отношений.

4. Что такое кибернетическое пространство? Какие его характеристики влияют на формирование информационного права?

5. Перечислите возможные способы социального регулирования поведения субъектов информационного права в киберпространстве.

6. Назовите основные проблемы, стоящие перед нашей страной и международным сообществом в сфере функционирования сетей международного информационного обмена.

Математическое моделирование

Введение

Математическое моделирование, это подход к описанию процессов и явлений, основанный на выделении в них основного элемента, главного движущего звена. Такой подход Я.И. Френкель называл карикатурой на явление, а Л.Д. Ландау – тривиализацией задачи. Упрощенное описание явления - это лишь первый шаг. На следующем этапе производится более детальное описание. Но без начальной стадии упрошенного описания есть опасность погрязнуть в деталях и не понять, что главное в рассматриваемом физическом явлении.

Глава 1. Теория размерностей

Пример оценки с помощью теории размерностей

Рассмотрим математический маятник, представляющий собой точечную массу , подвешенную на веревке длины в гравитационном поле с ускорением свободного падения . Найдем зависимость периода малых колебаний маятника от массы груза, длины веревки и ускорения свободного падения . Для определения вида этой функции составим из величин , , и безразмерный комплекс

. (1.1)

Подставим в это выражение размерности входящих в него величин:

Комплекс будет безразмерен, если

,

или . Тогда выражение (1.1) приобретает вид

.

Окончательно

. (1.2)

Множитель не зависит от параметров системы ( и ).

1.2 Π-теорема Бэкингема

Обобщением полученного выше результата является следующая теорема.

Если существует величин , размерность которых образуется с помощью основных размерностей , то из этих величин можно построить безразмерных комплексов [1].

Для доказательства теоремы представим размерности величин в виде

и образуем из них безразмерный комплекс

. (1.3)

Подставим в это выражение размерности входящих в него величин:

.

Запишем условия безразмерности комплекса

. (1.4)

При система (1.4) не может иметь единственного решения. Для получения совокупности ее решений представим систему в виде

.

Если определитель , то для каждого набора чисел , входящих в ее правую часть, можно рассчитать соответствующий набор . Построим линейно-независимую совокупность таких решений: набору соответствует решение , набору соответствует решение , наконец, набору соответствует решение .

Итак, мы построили линейно независимых решений системы (1.4) . Каждому такому решению, согласно (1.3), соответствует безразмерный комплекс. Таким образом, мы не только доказали возможность построения безразмерных комплексов, но и дали рецепт их построения.

Пример.1.Рассмотрим, как и в п.1.1, математический маятник, представляющий собой точечную массу , подвешенную на веревке длины в гравитационном поле с ускорением свободного падения . Не предполагая амплитуду колебаний малой величиной, найдем зависимость периода колебаний маятника от массы груза, длины веревки, ускорения свободного падения и амплитуды колебаний .

Для определения вида этой функции составим из величин , , и безразмерный комплекс

. (1.5)

Подставим в это выражение размерности входящих в него величин: .

Условия безразмерности комплекса запишем в виде

,

или

. (1.6)

В соответствии с общей теорией, положим . Тогда, согласно (1.6), . В соответствии с (1.5), получаем . Для получения второго безразмерного комплекса, положим . Тогда и . Как и следовало ожидать, из пяти величин при наличии трех основных размерностей мы построили два безразмерных комплекса. Тогда , причем вид функции не может быть определен из теории размерностей. Используя полученные выше выражения для и , находим , или

, (1.7)

где . В случае малых колебаний и (1.7) переходит в (1.2), причем .

Задание.1.Используя теорию размерностей, рассчитать зависимость периода колебаний гармонического осциллятора от его массы и жесткости .

Пример.2.Используя теорию размерностей, рассчитать зависимость периода колебаний гармонического осциллятора от его массы , жесткости и амплитуды колебаний .

Составим безразмерный комплекс из величин , , и безразмерный комплекс

. (1.8)

Подставим в это выражение размерности входящих в него величин: .

Условия безразмерности комплекса запишем в виде

,

или

. (1.9)

В соответствии с общей теорией, положим . Тогда, согласно (1.9), . Используя (1.8), получаем . В соответствии с Π-теоремой, из четырех величин, при наличии трех основных размерностей, мы построили один безразмерный комплекс. Окончательно,

. (1.10)

Константа не может быть определена из теории размерностей.

Отметим, что период колебаний гармонического осциллятора не зависит от амплитуды его колебаний.

Пример.3.Используя теорию размерностей, рассчитать зависимость периода колебаний ангармонического осциллятора (с возвращающей силой ) от его массы , жесткости и амплитуды колебаний .

При выбранном виде нелинейной возвращающей силы, жесткость имеет размерность . По аналогии с Примером 2, составим безразмерный комплекс из величин , , и безразмерный комплекс

. (1.11)

Подставим в это выражение размерности входящих в него величин: .

Условия безразмерности комплекса запишем в виде

,

или

. (1.12)

В соответствии с общей теорией, положим . Тогда, согласно (1.12), . Используя (1.11), получаем . В соответствии с Π-теоремой, из четырех величин, при наличии трех основных размерностей, мы построили один безразмерный комплекс. Окончательно,

. (1.10)

Константа не может быть определена из теории размерностей.

Отметим, что период колебаний ангармонического осциллятора зависит от амплитуды его колебаний, в отличие от случая гармонического осциллятора.

Глава 2. Одномерное движение материальной точки