Метод, основанный на Марковской аппроксимации

Вероятностное описание такого процесса задается спектральной плотностью вида:

, (1.39)

где (k<l), а все R_i и L_j–действительные числа.

Такой случайный процесс может быть получен путем пропускания белого шума через формирующий фильтр с передаточной функцией :

. (1.40)

Предположим, что известен метод моделирования процесса y₁(t), спектральная плоскость которого имеет вид:

, (1.41)

Тогда, чтобы получить случайный процесс y(t) со спектральной плотностью Sy(w), надо пропустить y₁(t) через систему с передаточной функцией

W(jw) = r₀ + r₁(jw) + ... + r_k(jw)^k. (1.42)

Это обосновывается следующим известным соотношением статистической динамики:

S_y(w) = |W(jw)|²S_y1(w).

Следовательно, можно записать:

y(t) = r₀y₁(t)+ r₁y₁⁽¹⁾(t) + ... + r_ky₁^(k)(t), (1.43)

где y₁^(j)(t) – j‑ая производная процесса y₁(t).

Показано, что моделирование процесса у₁(t) вместе с его (l–1) производными сводится к моделированию l‑ мерного стационарного нормального Марковского процесса , все элементы матричной корреляционной функции которого определяются на основе следующего соотношения:

, (i,j=0,1,…,l–1). (1.44)

Сама корреляционная функция K_y1(t) получается путем преобразования Фурье:

. (1.45)

Подготовительная работа для построения моделирующего алгоритма:

— по спектральной плоскости исходного процесса S_y(w) определяется передаточная функция формирующего фильтра Ф(jw);

— по спектральной плоскости S_y1(w) определяется корреляционная функция K_y1(t);

— по корреляционной функции K_y1(t) определяется матричная корреляционная функция ;

— по матричной корреляционной функции определяются условные математическое ожидание и корреляционная матрица для моделирования нормального вектора по формулам 1.36 и 1.37;

— по рассчитывается треугольная матрица для формирования нормального вектора ;

—определяется формула для моделирования процесса :

= + ×h_0, (1.46)

где h₀ – l‑мерный вектор нормированных нормально распределенных величин;

— на основе соотношения (3.77) определяется окончательное соотношение для моделирования исходного процесса

y(t) = r₀y₁(t)+ r₁y₁⁽¹⁾(t) + ... + r_ky₁^(k)(t), (1.47)

где y₁^(j)(t) (j=0,1,..,k) – первые k+1 компонента процесса .