Как видно из предыдущего раздела, метод Марковской аппроксимации сложен в вычислительном отношении. В этом разделе рассмотрим альтернативный ему метод моделирования, основанный на каноническом разложении указанного выше процесса [19]:
, (1.48)
где gj(t) – детерминированные координатные функции времени,
Получение реализаций процесса в различные моменты времени при наличии такого разложения сводится к моделированию h0j и расчету значений y(t) в соответствии с приведенным соотношением, вследствие чего метод характеризуется высоким быстродействием. Очевидно, что точно реализовать такой подход нельзя из‑за бесконечного числа слагаемых канонического разложения. Поэтому используют ограниченное число слагаемых, вследствие чего метод априори является приближенным. Это является одним из его недостатков. Основная проблема в применении метода состоит в получении необходимо числа координатных функций gj(t). Один из способов сводится к решению интегрального уравнения, ядром которого является корреляционная функция моделируемого процесса. В [17] изложена процедура, с помощью которой можно найти любое конечное число координатных функций. Вычислительная сложность этой процедуры также является недостатком рассматриваемого метода.
Примеры моделирования дискретных процессов
Рассмотрим здесь два наиболее часто используемых типов дискретных процессов.
Простая дискретная цепь Маркова.
Она представляет собой последовательность случайных величин Y[i], i=1,2,…,k (i – номер момента дискретного времени) с возможными значениями в каждый момент y1,y2,...ym.
Полное статистическое описание простой цепи Маркова задается матрицей переходных вероятностей:
.
Каждую k‑ую строку матрицы П[i] можно трактовать как условный ряд распределения
[i] = p(Y[i] = /Y[i–1] = ), l=1,2,…,m.
Алгоритм моделирования:
1) задается значение y[0];
2) i=1;
3) рассчитыв-ся матрица переходных вероятностей П[i](в частном случае, она может не зависеть от i);
4) реализация y[i] получается в результате моделирования дискретной случайной величины с рядом распределения, определяемым k‑ой строкой матрицы П[i], если Y[i–1]= ;
5) i:=i+1, переход на 2.
Случайные потоки.
Случайный поток – дискретный процесс, определяющий случайные моменты времени появления в системе некоторых событий, например, заявок на входе СМО, отказов технических устройств некоторой системы и т.д.
Генерация случайных потоков любой сложности базируется на алгоритмах моделирования ординарных однородных стационарных потоков с ограниченным последействием.
Полное статистическое описание ординарных однородных может быть дано с помощью плотности вероятности f(Z1, ... Zn), где Zi – интервалы времени между соседними событиями в потоке.
Для потоков с ограниченным последействием выполняется
f( , ..., )= ( ) ( )... ( ), (1.49)
т.к. в этом случае Z1,...,Zn являются независимыми случайными величинами.
Для стационарных потоков дополнительно выполняется следующее условие:
( ) = ( ).=.. = ( )= , (1.50)
т.е. все интервалы времени меду соседними событиями в потоке имеют один и тот же закон распределения.
Наиболее часто для случайной величины Z используется экспоненциальный закон распределения:
f(z) = l exp(–lz) (z³0).
Причинами этого являются следующие обстоятельства:
— многие реальные потоки достаточно точно отображаются простейшим;
— некоторые более сложные потоки (например, потоки Эрланга) могут быть получены в виде суперпозиции (наложения) простейших потоков;
— простейшие потоки являются, как правило, наиболее тяжелыми для отработки их системой, и поэтому с их использованием можно получить гарантированный результат оценки качества работы моделируемой системы.
Для моделирования момента появления 1‑ой заявки в потоке z1 в отличие от всех остальных zi рекомендуется определять f (z1) в соответствии с формулой Пальма [3]:
(1.51)
При оценке статистических характеристик стационарных режимов и большом числе потоков в ИМ использование такого подхода позволяет сократить длительность переходного процесса в модели и, соответственно, уменьшить вычислительную сложность ИМЭ.
Моделирование неординарных потоков базируется на алгоритмах моделирования ординарных потоков, дополненных процедурой моделирования количества одновременно появляющихся в потоке событий. Моменты времени появления «пачек» событий получаются с помощью моделирования ординарных потоков, а для моделирования количества одновременно появляющиеся в потоке событий дополнительно задается соответствующее дискретное распределение.
Для моделирования неоднородных потоков алгоритм моделирования однородных потоков дополняется процедурой имитации типов появляющихся событий. Для этого должно быть задано вероятностное описание полной группы несовместных событий, определяющей возможность появления событий различных типов.
Для моделирования одновременно неординарных и неоднородных потоков оба указанные подхода могут быть объединены.
, (1.48)
.
[i] = p(Y[i] = 
/Y[i–1] = 
), l=1,2,…,m.
, 
..., 
)= 
( 
( 
( 
, (1.50)
(1.51)