Моделирование случайных процессов

Пусть ставится задача моделирования n‑мерного процесса Y(t)=(Y1(t),Y2(t),...,Yn(t)). Предположим, что нам известны моменты времени t1, t2,...,tm, в которые нужно получить значения реализации этого процесса. Теоретически эта задача может быть сведена к моделированию (n´m) – мерного вектора (Y1(t1),...,Yn(t1),Y1(t2),...,Yn(t2),..., Y1(tm),...,Yn(tm)), если известен совместный закон распределения его компонент, например, в виде функции распределения:

F(y1(t1),...,yn(t1),y1(t2),...,yn(t2),..., y1(tm),...,yn(tm))=

P(Y1(t1)< y1(t1),...,Yn(t1)< yn(t1),Y1(t2)< y1(t2),...,Yn(t2)< yn(t2),...,

Y1(tm)< y1(tm),...,Yn(tm)< yn(tm)). (1.34)

Практически же реализация такого подхода невозможна по следующим причинам:

— часто в ИМ не известны моменты времени, в которые нужно получить значения реализации процесса (например, функционирование модели осуществляется с переменным шагом по модельному времени);

— практически невозможно определить закон распределения всего указанного вектора при больших значениях n и m.

Поэтому большинство методов моделирования случайных процессов основаны на их Марковской аппроксимации.

Делается предположение о том, что условный закон распределения случайного процесса в каждом временном сечении зависит только от полученных в результате моделирования значений этого процесса в предыдущем рассмотренном сечении и не зависит от предыстории развития этого процесса. Тогда для моделирования необходимо знать лишь условный закон распределения, например, в виде n‑мерной функции распределения

F(Y(t),t,s/ Y(S)=y(s)), для всех t>s. (1.35)

Моделирование случайного процесса при таком подходе сводится к последовательному моделированию n‑мерных векторов.

Вначале либо задается, либо моделируется значение процесса в начальный момент y(t₀), а затем последовательно, для каждого следующего момента времени с учетом известной реализации процесса в предыдущий момент определяется с точностью до параметра условный закон распределения, и моделируется реализация процесса в соответствующем сечении: y₁(t₁) в соответствии с F(y(t₁),t₁,t₀/Y(t₀)=y(t₀)), y(t₂) в соответствии с F(y(t₂),t₂,t₁/Y(t₁)=y(t₁)) и т.д.

Приводимые ниже методы и алгоритмы не претендуют на полноту. Их описание имеет лишь цель продемонстрировать основные идеи, используемые при создании программных генераторов псевдослучайных процессов, и связанные с их реализацией вычислительные проблемы.

1.5.1. Моделирование нормального n–мерного Марковского процесса

Полное статистическое описание такого процесса определяется вектором математических ожиданий m_y(t) = (m₁(t),...m_n(t))^T и n‑мерной матричной корреляционной функцией компонент процесса:

, где K_ij(t, s) = .

Условный закон распределения такого процесса является нормальным и определяется для сечения t условным средним (при условии, что в сечении s процесс принял значение y(s))

m_y(t/y(s)) = m_y(t) + K(t,s)[K_y(s,s)]^–1×(y(s) – m(s)) (1.36)

и условной корреляционной матрицей

K_y(t/y (s)) = K_y(t,t) – K_y(t,s)[K_y(s,s)]^–1K_y^T(t,s). (1.37)

Подготовительная работа для моделирования:

— на основе соотношений (1.36) и (1.37) определяются условные математическое ожидание m_y(t_i/y(t_i–1)) и корреляционная матрица K_y(t_i/y(t_i–1));

— в соответствии с K_y(t_i/y(t_i–1)) рассчитывается треугольная матрица A_y(t_i,t_i–1) для моделирования нормального n‑мерного вектора;

— определяется конечное соотношение для моделирования:

y(ti) = m_y(t_i/y(t_i–1)) + A_y(t_i,t_i–1)×h₀, (1.38)

где h₀ – нормально распределенный нормированный вектор.

1.5.2. Моделирование нормального скалярного стационарного процесса с дробно‑рациональным спектром в неравно отстоящих точках по модельному времени