Формирование мажорирующей функции

Если сравнить исходную постановку задачи по моделированию случайной величины У с задачами, решаемыми алгоритмом метода исключения, то можно увидеть, что принципиальной является замена исходной задачи на задачу моделирования случайной величины У1 в соответствии с плотностью вероятностей, определяемой МФ. Очевидно, что такая замена имеет смысл только в том случае, если вторая задача является более простой, чем исходная. А это зависит опять же от вида МФ.

Наиболее простой по реализации алгоритма и в то же время наименее эффективный с точки зрения показателя c способ формирования МФ показан на рис.1.7.

Рис.1.7

Здесь . (1.11)

Простота алгоритма при такой МФ определяется помимо прочего тем, что случайные величины Х и У1 становятся независимыми равномерно распределенными величинами: Х — на отрезке [0,fm], а У1 – на [a,b].

Более эффективной является ступенчатая МФ, показанная на следующем рис.1.8.

Рис.1.8

Моделирование случайной величины У1 здесь может быть осуществлено по методу обратной функции для ступенчатых плотностей вероятностей. В отличие от предыдущего способа случайная величина Х становится здесь зависимой от У₁.

Применение метода исключения для моделирования случайных величин, у которых либо плотность вероятностей имеет разрывы второго рода, либо область определения не имеет конечных размеров

В этом случае должна быть осуществлена дополнительная подготовка: подобрана непрерывная, дифференцируемая, монотонная функция j = g(y), имеющая аналитически определяемую обратную функцию у = y(j) и, самое главное, осуществляющая такое функциональное преобразование случайной величины У в j, при котором j будет удовлетворять требованиям непосредственного применения метода исключения:

— область определения j должна быть конечной,

— плотность вероятностей w(j) не должна иметь разрывов 2‑го рода.

Эта плотность для перечисленных выше условий определяется в соответствии со следующим известным из теории вероятностей соотношением

w(j) = fу(y(j))×|y’(j)|. (1.12)

Подбор такого функционального преобразования в каждом конкретном случае является творческой задачей.

Алгоритм моделирования:

1) моделируется j в соответствии с w(j) по методу исключений;

2) у = y(j).

Пример.

1)Требуется моделировать случайную величину У, определяющую правый «хвост» нормированной нормально распределенной случайной величины h₀ (рис.1.9).

Рис.1.9

Плотность вероятностей У имеет вид

, (1.13)

где F(A) – значение функции распределения h₀ в точке А.

Непосредственное применение метода исключения невозможно, так как область определения У бесконечна справа.

Подбирается функциональное преобразование

j = g(y) = , (1.14)

осуществляющее переход ( )® ( ). Для этого преобразования имеем:

, (1.15)

(1.16)

Из графического изображения функции w(j) (рис.1.10) очевидной является возможность непосредственного применения метода исключения для случайной величины j.

Рис.1.10