Метод композиции

Метод основан на представлении функции плотности вероятности моделируемой случайной величины в следующем виде (аналог формулы полной вероятности для событий):

, (1.17)

где функции g_j(y) обладают всеми свойствами функции плотности вероятностей и получаются в результате предварительной подготовки к применению метода путем разделения площади под функцией плотности вероятностей случайной величины У на составные части с последующей нормировкой:

, (1.18)

где pj площади отдельных частей произведенного деления (очевидно, что ).

Очевидна также связь такого представления с формулой полной вероятности: вероятности pj играют роль вероятностей гипотез, функции g_j(y) – условных вероятностей.

На рис.1.11 приведен пример, иллюстрирующий указанную выше подготовительную работу.

Рис. 1.11

Для реализации алгоритма моделирования вводится дискретная случайная величина J со следующим рядом распределения:

Таблица 1.3.

Алгоритм моделирования:

1) моделируется реализация j случайной величины J;

2) моделируется реализация у в соответствии с плотностью вероятностей g_j(y).

Метод композиции применяется для объединения различных, достаточно простых алгоритмов моделирования случайных величин в единый алгоритм моделирования сложного распределения. Метод может быть применен также для приближенного моделирования сложных распределений.

Примеры.

1. Точное моделирование нормально распределенной нормированной случайной величины h₀ (без усечения области ее определения).

Площадь под функцией плотности вероятностей случайной величины h₀ разделяется на три части (рис.1.12): выделяется центральная часть (–А£h₀£А) и два «хвоста»: ( ).

Рис.1.12

При А=3 вероятность Р1=0.997 соответствует центральной части, а для «хвостов» Р2=Р3=0.0015. Для моделирования каждого из распределений, получающихся в результате деления, используем метод исключения (в частности, для «хвостовых» частей так, как было показано в приведенном в разделе 3.7.2.3 примере).

2. Моделирование некоторого сложного распределения на основе приближенного представления его плотности вероятности в виде суммы трапеций или треугольников (рис.1.13).

Рис.1.13

Алгоритмы моделирования распределений, соответствующих составным частям деления (трапециям или треугольникам), могут быть реализованы на основе метода обратной функции для трапецеидального или треугольного распределений.

Пример специального алгоритма для моделирования нормированной нормально распределенной величины

Ограничимся лишь этим примером для иллюстрации специальных алгоритмов. Специальные алгоритмы для ряда других распределений можно найти в справочнике распределений.

Приводимый здесь алгоритм основан на использовании центральной предельной теоремы для суммы случайных величин с одинаковыми законами распределения.

Формула моделирования:

, (1.19)

где x_i – базовые числа (n/2=M[ ], = [ ]).

Согласно центральной предельной теореме закон распределения суммы при увеличении n асимптотически стремится к нормальному закону. После центрирования и нормировки этой суммы получаем реализацию случайной величины h_0. Точность такого приближения уже достаточна для целей моделирования при n = 6 ¸ 12.