Метод обратной функции

Предполагается, что либо известно аналитическое выражение для обратной функции F^–1(.) к функции распределения F(х) случайной величины Х, либо ее приближенная аппроксимация (например, кусочно‑линейная).

Алгоритм моделирования:

1) моделируется базовое число x;

2) вычисляется x=F^–1(x). (1.5)

Геометрическая интерпретация алгоритма показана на рис.1.2.:

Рис.1.2.

Обоснование метода основано на применении формулы из теории вероятностей для определения плотности вероятностей монотонной функции при известной плотности вероятностей аргумента [4] (здесь функцией является случайная величина Х, а аргументом — базовое число x):

g(x)=f(y(x))| y’(x)| = f (F(x))|F’(x)| = F’(x). (1.6)

Таким образом, видим, что плотность вероятностей g(x) реализаций случайной величины Х, определяемых в соответствии с указанным алгоритмом, есть производная от функции F(х), являющейся функцией распределения этой случайной величины.

Этот метод хорош тем, что реализация моделируемой случайной величины получается по одной реализации базовой величины.

Ограничение на применение метода – существование либо аналитического выражения обратной функции для функции распределения моделируемой величины, либо достаточно просто и точно формируемой ее аппроксимации. При этом надо иметь ввиду, что не для всех законов распределения имеется аналитическое выражение самой функции распределения (например, для нормального закона она задается с помощью таблицы).

Примеры применения метода обратной функции.

1) Для равномерного закона распределения:

F(x)=(x–a)/(b–a), (a x b),

х = a+(b–a) x. (1.7)

2) Для экспоненциального распределения:

,

. (1.8)

3)Для распределений, заданных ступенчатой плотностью распределения типа гистограммы с n разрядами (рис.1.3):

Рис.1.3

, если a_j–1 £ x £ a_j, (1.9)

где пары (х_j, a_j) – координаты точек излома соответствующей кусочно‑линейной функции распределения;

p_j=a_j–a_j–1 — площади разрядов ступенчатой плотности распределения.