Задача 2

Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса, при ценах благ p₁=5, p₂=1 и доходе I=40, с функцией полезности U=(x₁-3)^1/2×(x₂ –1)^2/3®max.

Изобразите допустимое множество и кривые безразличия.

Решение:

Пояснение к решению задачи:

Формально задача потребительского выбора имеет вид:

U=(x₁-3)^1/2×(x₂ –1)^2/3®max.

р₁х₁ + р₂х₂ ≤ I (25)

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0,

где р₁, р₂ – рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов соответственно, а I – доход индивидуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов, величины р₁, р₂, I – заданы (экзогенные).

А формула №25 - это бюджетное ограничение означающее, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода.

Задача заключается в выборе такого потребительского набора (х₁⁰, х₂⁰), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Набор (х₁⁰, х₂⁰), которой является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным равновесием потребителя или локальным рыночным равновесием потребителя.

Для того чтобы найти потребительский набор (х₁⁰, х₂⁰) воспользуемся функцией полезности U в модели Стоуна. Она характеризуется минимальным объемом потребления x₁⁰ _, x₂⁰ и коэффициентом полезности для каждого из товаров a₁ и a₂, соответственно. В нашем случае x₁⁰ =3_, x₂⁰=1, a₁=1/2 и a₂=2/3.

Т.е в данной задаче при заданном бюджетном ограничении потребительский набор, максимизирующий функцию полезности равен (3,1).

Функция спроса модели Стоуна имеет вид:

x_i=x_i⁰+ a_i (I - p_j x_j⁰) / [p_i a_j] , где i = 1..n – вид товара. (26)

Эту функцию легко интерпретировать. Вначале приобретается минимально необходимое количество каждого блага a_i. Затем рассчитывается сумма денег, оставшаяся после этого, которая распределяется пропорционально «весам» важности α_i. Разделив количество денег на сумму р_i, получаем дополнительно приобретаемое, сверх минимума, количество i – го блага и добавляем его к а_i.

Используя формулу, получаем функции спроса:

x₁= 3+0, 5*(40-5*3-1*1)/(5*(0, 5+0,67)) = 7,1

x₂= 1+0,67*(40-5*3-1*1)/(1*(0, 5+0,67)) = 9,74.

То есть х₁=7.1 и х₂=9.74 – это набор продуктов, которые можно приобрести не превышая доход.

Далее находим фукцию бюджетного ограничения:

; (27)

9,74-1) = =2,02*4,27=8,62

Выводим формулу кривой безразличия x^u₂:

(28)

Выводим формулу кривой безразличия максимальной полезности при U=8.62:

Выводим формулу кривой безразличия при U=3

Выводим формулу кривой безразличия при U=1

Далее составим таблицу с допустимым множеством значений и построим кривые безразличия и прямую бюджетного ограничения.

Таблица 2.

На рисунке 3 изображены графики бюджетного ограничения и кривых безразличий.

Рисунок 3.

Бюджетное ограничение и функции безразличий