Что мы не учли при постановке?

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение. В действительности, по крайней мере:

1) ресурсы могут быть взаимозаменяемы;

2) затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (постоянные и переменные);

3) объемы ресурсов не строго фиксированы, так могут продаваться, покупаться, сдаваться в аренду;

4) ресурсы неоднородны и разные их составляющие по разному влияют на выпуск;

5) цена продукта может зависеть от объема реализации (неконкурентный рынок), то же - и цена ресурса;

6) фирма может использовать не одну, а выбирать из нескольких технологий, характеризующихся определенными сочетаниями ресурсов;

7) размер прибыли может быть оценен по-разному, это, например, зависит от налоговой системы;

8) предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, значит, целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;

9) реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени, важны динамические взаимосвязи;

10) на ситуацию могут оказать влияние случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

Построение гипотезы: Построение модели в рамках линейного программирования (формулирование целевой функции, ограничений и граничных условий), несмотря на простоту модели, даст решение, приемлемое в реальной обстановке.

Формализация (построение математической модели – в виде формул или алгоритмов): включает в себя выбор переменных и установление связей между ними. В нашем случае это три неравенства, ограничивающие затраты ресурсов и выражение для расчета прибыли в качестве целевой функции.

Введем обозначения для эндогенных переменных – тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не известны заранее. В нашем случае – это неизвестные объемы производства x₁, ... , x_n.

Опишем экзогенныепеременные(заданные вне модели, то есть известные заранее). В задаче заданы количества К - капитал, L - труд и количество сырья R, а также коэффициенты их расхода на единицу продукции каждого вида: к_i, l_i, r_i.

Для каждого вида продукции, расходов ресурсов на единицу продукции и для прибыли на единицу р_i мы ввели индексi, он меняется от 1 до n. Индексы позволяют нам записать связи в наиболее компактной, удобной для восприятия форме.

Закончив описание переменных и параметров, переходим к установлению связей между переменными задачи.

Совокупный расход каждого вида ресурса не должен превышать допустимое значение:

x₁× k₁+ x₂× k₂+…+ x_n× k_n<= K ü

x₁× l₁+ x₂× l₂+ …+x_n× l_n<= L ý- ограничения по ресурсам

x₁× r₁+ x₂× r₂+…+ x_n× r_n<= R þ

x₁× p₁+ x₂× p₂+…+ x_n× p_n®max - целевая функция (размер прибыли)

Мы сформулировали задачу линейного программирования – по известному математическому методу. Далее пользуясь методом и подставляя реальные значения, мы можем дать руководителям фирмы вполне конкретные рекомендации по плану выпуска продукции. Следует отметить, что не всегда задача сводится к известным математическим приемам, она может потребовать разработки и нового способа решения.

Анализ адекватности модели - последний этап моделирования. Здесь, например, можно принять во внимание, что расходы ресурсов на единицу продукции, и другие экзогенные переменные являются случайными величинами. Поэтому достижение максимальной прибыли возможно лишь с вероятностью, определение которой и даст ответ на вопрос о приемлемости решения.

Для примера, опишем модель производства корма для сельского хозяйства: сена, силоса и сенажа. Здесь применяется относительно однородное сырье – трава.

Пусть:

x₁ – количество сена, x₂ – количество силоса, x₃ – количество сенажа,

p₁=4500, p₂=500, p₃=600 - цены на 1 тонну продукта,

k₁=3,5; k₂=2; k₃=2,2 - капитал на 1 тонну продукта,

l₁ =5; l₂=2; l₃=2 - труд на 1 тонну продукта,

r₁=6; r₂=2,5; r₃=2,7 - сырье на 1 тонну продукта,

K= 432,5 - всего капитала, (машино-час.)

L= 499- всего трудовых ресурсов, (человеко-час)

R= 623,5 всего сырья.(тонн)

Тогда получаем конкретную модель:

x₁× 4500+ x₂× 500+ x₃× 600 ® max - целевая функция (размер прибыли)

x₁× 3,5+ x₂× 2+ x₃× 2,2<= 432,5 ü

x₁× 5+ x₂× 2+ x₃× 2<=499 ý- ограничения по ресурсам

x₁× 6+ x₂× 2,5+ x₃× 2,7<=623,5 þ

Далее используя компоненту Поиск решения в приложении Microsoft Office 2007, ввести данные в форму настройки поиска решений, предварительно подготовив нижеследующую таблицу.

Таблица 1

В таблице 1 мы находим размер максимальной прибыли, равной 303500 рублей при производстве 53 тонны сена, 52 тонны силоса и 65 тонн сенажа.