Федеральное агентство по образованию РФ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Заочный факультет

Кафедра автоматизации обработки информации (АОИ)

Контрольная работа N 2

(фамилия и инициалы студента)

(шифр)

(почтовый адрес для иногородних)

Дата выполнения работы _________________________

Дата проверки __________________________________

Оценка ________________________________________

Ф.И.О. преподавателя ____________________________

Подпись преподавателя ___________________________

Приложение 2

Пример выполнения контрольной работы №1

1.

Необходимо определить объем валовых выпусков по отраслям . Для этого составим систему линейных уравнений:

1) или ,

2) или ,

3) или ,

4) или

Решая полученную систему уравнений получаем: , , , .

2.

а) Определим прямые коэффициенты трудоемкости: , тогда .

Полные коэффициенты трудоемкости определяем :

.

б) Допустимые изменения прямых коэффициентов определяются по формуле: , здесь для расчетов сначала необходимо определить значение , для этого вычислим отношения , при изменяющемся от 1 до n, и определим среди них минимальное ( в нашем случае равно 3): , , , . Здесь минимум равен 0.769 и достигается при . Тогда формула для нахождения допустимого изменения рассматриваемого коэффициента примет вид: .

3.

В данной задаче необходимо найти объемы валовых выпусков по 2, 4 и 5 отраслям и объемы конечных продуктов по отраслям 1 и 3.

Сформируем матрицу прямых коэффициентов по группам:

Определим значение матрицы , в нашем случае это:

Искомый вектор валовых выпусков определим по формуле , тогда:

,

,

.

Искомый вектор конечного продукта определим по формуле , тогда:

,

.

4.

	0.9	0.8	0.9	0.7	0.6	0.3			0.9	0.75	0.7	0.7	0.5	0.2
			0.3	0.4	0.4						0.5	0.4	0.3

Определим сначала численность новорожденных на следующий период по следующей формуле: , тогда

,

.

Для остального ряда численности населения значения определяем через численность населения на год младше в предыдущем году, умноженную на соответствующую вероятность дожития: , в результате получаем следующий ряд численности населения на следующий период

	14.4		15.2	14.4	9.8		1.8		16.6	18.9		11.2	8.4		0.8

Пример выполнения третьего задания контрольной работы №2

В качестве исходных данных заданы следующие характеристики: .

Первоначально определим, какой вариант из пяти возможных соотношений выпуск – спрос наблюдается в нашем случае. Для заданных условий вектор желаемых выпусков (здесь мы упорядочили предприятия по возрастанию коэффициентов эффективности), . Здесь – спрос превышает предложение. Определим :

– максимальное , тогда , а , .

Теперь определим планы предприятий по формуле : , .

Прибыль предприятий (предприятия рассматриваем в порядке возрастания их коэффициентов эффективности):

,

,

,

.

Пример выполнения контрольной работы №3

1.Определить эгалитарное и утилитарное решение, если функции полезности агентов равны, соответственно, , , и должно выполняться условие . Проверить независимость от общей шкалы полезности для указанных решений, если к функциям полезности агентов была применена функция .

Определим эгалитарное решение, для этого должно выполняться условие или . Учитывая, что , получаем , тогда . Вектор полезностей .

Утилитарное решение находим, максимизируя сумму полезностей агентов: , подставив вместо получаем . Рассматриваемая функция возрастает от и достигает своего максимума при , тогда . Здесь вектор полезностей .

После применения функции получаем новые функции полезностей агентов: , . Для новых функций полезностей эгалитарное решение (учитывая, что ) , отсюда , . Новое эгалитарное решение совпадает с полученным ранее, что подтверждает независимость эгалитарного ПКБ от общей шкалы полезности. Вектор полезностей .

Утилитарное решение для новых функций полезности: . Максимум достигается при . Вектор полезностей .

2.Характеристическая функция игры: . Дележи: .

Сравним сначала дележи и . Учитывая, что доминирование по одиночной коалиции невозможно, будем рассматривать только двойные коалиции. В дележе игроки из коалиции получают выигрыши больше, чем в дележе . Но при этом они могут обеспечить себе выигрыш только лишь равный 12, а в дележе их суммарный выигрыш составляет 16. Таким образом, не выполняется второе условие доминирования, следовательно, дележ не доминирует дележ . По остальным двойным коалициям рассматриваемых дележей не выполняется первое условие доминирования.

Теперь сравним дележи и . Единственная двойная коалиция, по которой выполняется первое условие доминирования – это . Но опять же, игроки этой коалиции могут обеспечить себе выигрыш равный 12, а в дележе их суммарный выигрыш составляет 15. Следовательно, и в данном случае дележи не доминируют друг друга.

При сравнении дележей и видим, что по коалиции игроки в дележе получают больше, чем в дележе . При этом они могут обеспечить себе выигрыш, равный 10, так как . Следовательно, дележ доминирует дележ по коалиции : .

3.Доходы агентов: . Затраты коалиций на обслуживание: .

Определим характеристическую функцию игры по формуле . Получаем , , (так как характеристическая функция коалиции в данной игре неотрицательна), , , , .

Проверим существование с-ядра, для этого должно выполняться пять условий: , , , , – все условия выполняются, следовательно, с-ядро существует.

Для нахождения с-ядра необходимо решить задачу со следующими условиями:

,

,

,

,

.

Заменим переменные на так, чтобы искомые переменные были просто неотрицательными: , тогда

,

,

,

.

На рисунке изображен симплекс, внутри которого три дополнительных ограничения выделяют с-ядро игры (заштрихованная область):

Определим координаты вершин четырехугольника. Точка 1: , точка 2: , точка 3: , точка 4: .

Переходя к первоначальным переменным получаем с-ядро игры, которое является четырехугольником с координатами вершин: , , , .

4.Функция затрат , квазилинейные предпочтения агентов .

Определим сначала характеристическую функцию игры.

, для нахождения максимума приравняем первую производную функции нулю: , тогда .

, здесь максимум достигается при .

, находим производную: .

Здесь прибыль от кооперации составляет .

Для нахождения N-ядра игры необходимо найти с-ядро. В данной игре (с двумя игроками) с-ядро – это множество дележей, составляющих отрезок, на одном конце которого вся прибыль отдается первому игроку, на втором – второму игроку.

1) если вся прибыль отдана первому игроку, получаем: . Если рассматривать затраты игроков, а не прибыль, то получим при получаем , , (здесь показывают затраты игроков).

2) если вся прибыль отдана второму игроку, получим: . По затратам (при ) получаем , .

Тогда N-ядро (которое является центром с-ядра) по прибыли будет , по затратам N-ядро составит .

Определим теперь вектор Шепли:

, .

Заметим, что мы получили однозначное решение – вектор Шепли и N-ядро совпали.