Условие задачи

1.Определить эгалитарное и утилитарное решение, если функции полезности агентов равны, соответственно, , , и должно выполняться условие . Проверить независимость от общей шкалы полезности для указанных решений, если к функциям полезности агентов была применена функция .

Определим эгалитарное решение, для этого должно выполняться условие или . Учитывая, что , получаем , тогда . Вектор полезностей .

Утилитарное решение находим, максимизируя сумму полезностей агентов: , подставив вместо получаем . Рассматриваемая функция возрастает от и достигает своего максимума при , тогда . Здесь вектор полезностей .

После применения функции получаем новые функции полезностей агентов: , . Для новых функций полезностей эгалитарное решение (учитывая, что ) , отсюда , . Новое эгалитарное решение совпадает с полученным ранее, что подтверждает независимость эгалитарного ПКБ от общей шкалы полезности. Вектор полезностей .

Утилитарное решение для новых функций полезности: . Максимум достигается при . Вектор полезностей .

2.Характеристическая функция игры: . Дележи: .

Сравним сначала дележи и . Учитывая, что доминирование по одиночной коалиции невозможно, будем рассматривать только двойные коалиции. В дележе игроки из коалиции получают выигрыши больше, чем в дележе . Но при этом они могут обеспечить себе выигрыш только лишь равный 12, а в дележе их суммарный выигрыш составляет 16. Таким образом, не выполняется второе условие доминирования, следовательно, дележ не доминирует дележ . По остальным двойным коалициям рассматриваемых дележей не выполняется первое условие доминирования.

Теперь сравним дележи и . Единственная двойная коалиция, по которой выполняется первое условие доминирования – это . Но опять же, игроки этой коалиции могут обеспечить себе выигрыш равный 12, а в дележе их суммарный выигрыш составляет 15. Следовательно, и в данном случае дележи не доминируют друг друга.

При сравнении дележей и видим, что по коалиции игроки в дележе получают больше, чем в дележе . При этом они могут обеспечить себе выигрыш, равный 10, так как . Следовательно, дележ доминирует дележ по коалиции : .

3.Доходы агентов: . Затраты коалиций на обслуживание: .

Определим характеристическую функцию игры по формуле . Получаем , , (так как характеристическая функция коалиции в данной игре неотрицательна), , , , .

Проверим существование с-ядра, для этого должно выполняться пять условий: , , , , – все условия выполняются, следовательно, с-ядро существует.

Для нахождения с-ядра необходимо решить задачу со следующими условиями:

,

,

,

,

.

Заменим переменные на так, чтобы искомые переменные были просто неотрицательными: , тогда

,

,

,

.

На рисунке изображен симплекс, внутри которого три дополнительных ограничения выделяют с-ядро игры (заштрихованная область):

Определим координаты вершин четырехугольника. Точка 1: , точка 2: , точка 3: , точка 4: .

Переходя к первоначальным переменным получаем с-ядро игры, которое является четырехугольником с координатами вершин: , , , .

4.Функция затрат , квазилинейные предпочтения агентов .

Определим сначала характеристическую функцию игры.

, для нахождения максимума приравняем первую производную функции нулю: , тогда .

, здесь максимум достигается при .

, находим производную: .

Здесь прибыль от кооперации составляет .

Для нахождения N-ядра игры необходимо найти с-ядро. В данной игре (с двумя игроками) с-ядро – это множество дележей, составляющих отрезок, на одном конце которого вся прибыль отдается первому игроку, на втором – второму игроку.

1) если вся прибыль отдана первому игроку, получаем: . Если рассматривать затраты игроков, а не прибыль, то получим при получаем , , (здесь показывают затраты игроков).

2) если вся прибыль отдана второму игроку, получим: . По затратам (при ) получаем , .

Тогда N-ядро (которое является центром с-ядра) по прибыли будет , по затратам N-ядро составит .

Определим теперь вектор Шепли:

, .

Заметим, что мы получили однозначное решение – вектор Шепли и N-ядро совпали.

Условие задачи

Известно, что объем продаж товаров, выраженный в тыс. рублях, в магазине «Вектор» за 11 месяцев составил:

Таблица 1. Объемы продаж товаров

На основании статистических данных по объемам продаж получить оптимальную математическую модель и сделать прогноз объёма продаж товаров для магазина «Вектор» на декабрь.