Многоканальная СМО с ожиданием

Предположим, что условия задачи по предоставлению почтовых услуг таковы: на почте работает одновременно несколько окошек, выполняющих все виды обслуживания. Такую систему обслуживания можно представить в виде многоканальной марковской СМО следующей структуры (рис.4.8):

Сформулируем задачу. Пусть имеем приборов обслуживания с интенсивностями обслуживания каждого прибора. Входной поток - пуассоновский, время обслуживания - экспоненциальное. При этих условиях правило выбора прибора не влияет на число требований, находящихся в очереди и в системе, на среднее время ожидания, но на занятость приборов влияет.

Рассмотрим вероятности переходов при изменении состояний системы.

Изменение состояния:	Вероятность перехода:
-> -> ->

Изобразим соответствующий граф переходов (рис.4.9).

Запишем систему дифференциальных уравнений состояний:

Запишем систему уравнений установившегося режима

Отсюда имеем

Выражение для получим, учитывая, что Тогда

Прежде чем определить интегральные числовые характеристики системы, проанализируем работу приборов:

- среднее число заявок, поступивших в систему за время , равно ;

- среднее время обслуживания одной заявки равно ;

- время обслуживания отдельных заявок независимо, отсюда суммарное время обслуживания одним прибором заявок, пришедших за время , равно .

Так как заявки обрабатываются независимо друг от друга, то суммарное время, затраченное одинаковыми приборами, имеющими интенсивность обслуживания , на обработку заявок, будет таким же, как и время при котором обслуживание производилось бы одним прибором, то есть . Однако общее «рабочее» время приборов за время составит величину . Тогда полное «рабочее» время приборов за вычетом времени, затраченного на обслуживание заявок, даст время простоя обслуживающих устройств .

Таким образом, можно считать, что в системе в среднем имеется занятых и незанятых приборов.

Теперь рассчитаем - среднее время ожидания очереди одной заявкой и - среднее время пребывания заявки в системе.

За время в систему придет заявок, и их среднее время ожидания равно . Поэтому среднее число заявок в очереди равно

.

Аналогично среднее число заявок в системе . Отсюда

.

Среднее число заявок в очереди можно рассчитать по формуле

А общее число заявок в системе

.

Тогда, используя соотношения, полученные выше, определим среднее время ожидания для одной заявки:

,

и среднее время пребывания в системе:

Вероятность того, что в очереди ожидает по крайней мере одна заявка, равна вероятности того, что в системе имеется более заявок: