Одноканальная СМО с ожиданием

Вернемся к задаче обслуживания клиентов на почте. Входной поток событий (появление клиента на почте) при определенных ограничениях можно принять за простейший. Действительно, он состоит из неизвестных событий и появление каждого клиента никак не зависит от появления других. Поток является ординарным, т.к. два клиента одновременно не могут пройти в дверь. Наконец, поток можно считать равномерным на некотором промежутке времени. Время обслуживания обслуживаемым устройством, как мы видели, распределено по экспоненциальному закону, и, следовательно, формируемый выходной поток клиентов, будет обладать свойствами пуассоновского.

Кроме того, будем считать, что клиент, вставший в очередь на обслуживание, не покинет ее до тех пор, пока требование не будет удовлетворено.

Математическую задачу можно сформулировать следующим образом: имеется одноканальная система с простейшим потоком на входе, плотность которого , и экспоненциальным временем обслуживания с показателем (рис.4.6).

Обозначим через состояние системы, когда в ней находится заявок. В интервале времени могут произойти следующие переходы с соответствующими вероятностями:

- вероятность перехода -> определяется вероятностью отсутствия прихода заявок в течение интервала и равна ;

- вероятность перехода -> , -> и вообще -> определяется вероятностью прихода одной заявки и равна ;

- вероятность перехода -> , -> и вообще -> определяется вероятностью обслуживания за время одной заявки. При показательном законе обслуживания на выходе СМО имеем пуассоновский поток плотности , в котором вероятность появления события на интервале равна ;

- вероятность остаться в текущем состоянии (переход -> ) определяется вероятностью составного события: за время заявка не придет и не будет обслужена и равна .

Граф переходов одноканальной СМО на основании сказанного будет иметь следующий вид (рис.4.7):

Ему соответствует матрица переходов

Уравнения состояний получаются из матрицы переходов

,

или

;

После преобразования получим

Эти уравнения могут быть решены при начальных условиях ; , , например, с использованием преобразования Лапласа.

А теперь поинтересуемся установившимся состоянием, уравнение которого получается из системы дифференциальных уравнений приравниванием производных к нулю. В результате получим

,

Отсюда

Но, с другой стороны, . Выполним подстановку :

.

Отсюда

Параметр называется загрузкой или коэффициентом использования СМО. При установившегося режима не существует, очередь растет неограниченно, т.к. средний интервал между обслуживаниями отдельных заявок больше среднего интервала между поступлениями заявок . Из изложенного следует, что установившийся режим не зависит от начальных условий, а определяется лишь параметрами системы.

Определим некоторые числовые характеристики установившегося режима.

Вероятность того, что в системе находится хотя бы одно требование,

.

Найдем среднее число требований в системе:

Аналогично получим выражение для среднего числа заявок вочереди . При ,а при , так как имеется лишь одно обслуживающее устройство.

Учитывая, что получим

.

Рассчитаем среднее время пребывания одной заявки в системе. Оно равно отношению среднего числа заявок в системе к среднему числу требований, проходящих через систему в единицу времени.

Обратимся к последнему показателю. За интервал времени в систему поступает заявок. Среднее число заявок, покидающих систему за время , будет пропорционально величине той части этого интервала, в течение которой в системе есть хотя бы одна заявка, . Но в установившемся режиме, если таковой существует, число заявок, поступающих в систему, равно среднему числу покидающих систему заявок: .

Это уравнение, называемое уравнением расхода, мы уже получали как решение уравнений установившегося состояния. Обе части этого уравнения представляют собой интенсивность потока требований, проходящих через систему в установившемся режиме. Тогда среднее время пребывания в системе равно

;

, так как .

Среднее время ожидания одной заявки в очереди

;

.

Среднее время обслуживания

.