Распределение интервалов между событиями

Найдем закон распределения интервалов времени между событиями для простейшего потока. Рассмотрим случайную величину - промежуток времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке. Требуется найти функцию распределения .

Рассмотрим противоположное событие . Это вероятность того, что, начиная с некоторого момента появления события, за время не появится больше ни одного события. Так как поток без последействия, то тот факт, что событие появилось в момент , не должен оказать никакого влияния на поведение потока в дальнейшем. Поэтому вероятность , откуда и плотность распределения вероятности .

Такой закон распределения называется показательным (экспоненциальным) с параметром l. Найдем математическое ожидание и дисперсию этого процесса:

;

.

Показательный закон обладает замечательным свойством: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время , то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка (он будет таким же, как закон распределения промежутка ).

Докажем это свойство. Пусть - вероятность того, что обслуживание, продолжавшееся (с), еще продлится не менее (с): т.е. на интервале времени a+t не произойдет ни одного события. При показательном законе распределения времени обслуживания .

По теореме о произведении вероятностей событий . При показательном законе ; и, следовательно, , т.е. при показательном законе времени обслуживания закон распределения оставшейся части времени обслуживания не зависит от того, сколько времени уже длилось обслуживание. Можно доказать, что показательный закон единственный, для которого справедливо это свойство.

Рассмотренное свойство, по существу, представляет другую формулировку свойства отсутствия последействия.