Распределение событий на малом интервале времени

По определению, интенсивностью потока называется предел , так как простейший поток стационарен, то для него .

Стационарность потока и отсутствие последействия исключают зависимость вероятности появления событий на интервале как от расположения этого интервала на оси времени, так и от событий ему предшествующих. Поэтому .

Для любого промежутка времени имеем . При устремлении всеми членами правой части этой формулы, за исключением первого, можно пренебречь, т.к. в силу ординарности потока событий эти величины пренебрежимо малы по сравнению с :

.

С учетом изложенного преобразуем исходное выражение для интенсивности потока:

.

Отсюда имеем равенство , т.е. вероятность появления одного события на малом интервале времени пропорциональна этому интервалу с коэффициентом .

Очевидно, что . Следовательно, , откуда имеем - вероятность непоявления ни одного события на малом интервале времени .

Распределение событий в пуассоновском потоке

Найдем выражение , где - вероятность того, что на интервале произойдет событий. Это событие произойдет в одном из двух взаимоисключающих случаях:

1) событий произошло на интервале и 0 событий - в интервале , следующем непосредственно за . Так как последействие отсутствует, то вероятность случая 1 равна ;

2) событие произошло в интервале и 1 событие – в интервале . Соответствующая вероятность .

По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем вероятность наступления ситуации 1 или 2:

.

Откуда . Устремив , получим .

Определим аналогичное соотношение для . Чтобы событие на интервале не наступило ни одного раза, необходимо и достаточно, чтобы оно наступило 0 раз в интервале и 0 раз - в . Вероятность этого события равна . Откуда аналогично получим .

Таким образом, пуассоновский поток событий описывается системой линейных дифференциальных уравнений

,

с очевидными начальными условиями .

Из первого уравнения получаем , из начальных условий имеем , откуда с = 1. Окончательно .

Таким образом, для пуассоновского потока вероятность отсутствия событий на любом интервале длиной определяется экспоненциальной зависимостью. Для решения полной системы уравнений используем преобразование Лапласа. Имеем ,

,

откуда ; и далее ; ; ... .

Взяв обратное преобразование Лапласа, с помощью таблиц получим , т.е. распределение Пуассона.

Таким образом, простейший поток подчиняется закону распределения Пуассона, для которого математическое ожидание и дисперсия соответственно равны .