Законы обслуживания

Чаще всего в математических моделях используется экспоненциальный закон обслуживания. Типичный пример - совокупность операций, выполняемых в почтовом отделении: продажа марок и конвертов, прием заказных писем, прием почтовых переводов. Большинство посетителей покупают марки и конверты; эти операции требуют минимального времени. Реже встречаются заказные письма, на оформление которых требуется больше времени, и совсем редко оформляются переводы, требующие еще больших временных затрат.

Построим гистограмму времени обслуживания: на оси абсцисс отложим отрезки времени обслуживания , а на оси ординат - относительное количество требований, время обслуживания которых равно этому интервалу, . Получим плотность распределения, близкую к экспоненциальной (рис.4.3).

Возьмем пример из области военной техники. Допустим, производится обстрел воздушной цели потоком снарядов. Вероятность поражения цели одним снарядом составляет p. Если плотность исходного потока выстрелов равна , то поток успешных выстрелов будет иметь плотность . Таким образом, оба потока стационарны. Отсутствие последствия определяется независимостью попыток, а ординарность - тем обстоятельством, что две попытки одновременно не делаются.

Следовательно, если исходный поток выстрелов принять за простейший (пуассоновский), то поток успешных выстрелов тоже будет простейшим. Мы уже говорили о том, что интервалы между событиями в пуассоновском потоке подчиняются показательному закону распределения. Это означает: вероятность того, что обслуживание закончится (цель будет поражена) до момента , равна , а плотность распределения времени обслуживания (самолетов) - показательный закон распределения.

Мы показали, что если процесс обслуживания состоит в последовательности независимых попыток, каждая из которых приводит к необходимому результату с вероятностью p, то из общего пуассоновского потока плотности можно выделить поток успешных попыток обслуживания, который также будет простейшим потоком, но с плотностью . При этом время обслуживания будет подчиняться показательному закону распределения.

И вообще, если на вход обслуживающего устройства поступает пуассоновский поток заявок, а время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону распределения, то выходной поток заявок также будет обладать свойствами пуассоновского.