Потоки событий

В теории массового обслуживания вводится в рассмотрение модель потоков событий [6]. Потоком событий называется последовательность событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени (рис.4.2).

Строго говоря, на рисунке изображена одна реализация потока событий, для полного задания которого требуется теоретически бесконечно большое количество таких реализаций.

Потоками событий могут моделироваться:

- поступления заявок на вход системы обслуживания (на вход очереди);

- поступления заявок на вход обслуживающего устройства (на выход очереди);

- появление обслуженных заявок на выходе системы обслуживания.

Потоки событий обладают различными свойствами, которые позволяют выделять различныетипы потоков.

Потоки могут бытьоднородными и неоднородными. Поток однотипных событий является однородным. Неоднородный поток может быть представлен наложением нескольких однородных потоков.

Регулярным потоком называется поток, в котором события следуют одно за другим через одинаковые промежутки времени.

Обозначим - моменты появления событий ( ), - интервалы между событиями. Тогда для регулярного потока.

Рекуррентныйпоток представляет собой такую последовательность событий, для которой все интервалы между событиями подчиняются одному и тому же закону распределения.

Обозначим , - функцию распределения интервалов между заявками. Тогда для рекуррентного потока.

Важной характеристикой потоков является вероятность распределения числа событий в заданном интервале времени , которая определяется следующим образом:

,

где - число событий, появляющихся на интервале .

Отсутствие вероятностной зависимости последующего течения процесса от предыдущего определяется в теории СМО как отсутствие последействия.

Поток без последействия характеризуется тем, что для двух непересекающихся интервалов времени , где , вероятность появления числа событий на втором интервале не зависит от появления числа событий на первом интервале.

Вообще, если имеется одноканальная СМО с временем обслуживания , то при потоке заявок без последействия на входе системы выходной поток будет с последействием, т.к. заявки на выходе СМО появляются не чаще, чем через интервал .

Потоком с ограниченным последействием или потоком Пальма называется такой поток, для которого интервалы между событиями независимы.

Поток называется стационарным, если вероятность появления какого-то числа событий на интервале времени зависит только от длины этого интервала и не зависит от расположения его на оси времени. Для стационарного потока среднее число событий в единицу времени постоянно.

Например, поток телефонных вызовов на городской станции в течение короткого интервала времени (1 час) можно считать стационарным, тот же поток, рассматриваемый в течение суток, не будет стационарным.

Ординарным потоком называется такой поток, для которого вероятность попадания на данный малый отрезок времени двух и более требований пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного требования.

Если обозначить через вероятность появления на интервале более одной заявки, то ординарность означает, что .

Предел , если он существует, где - вероятность того, что на интервале появятся заявки (одна и более), называется интенсивностью потока.

Интенсивность стационарного потока не зависит от времени и равна среднему числу событий в единицу времени.