Линеаризация нелинейных систем

Рассмотрим нелинейную автономную систему

.

Пусть - неподвижная точка нелинейной системы . Будем исследовать поведение решения в окрестностях стационарного состояния . Введём вектор отклонений решения от : . Элементы вектора называются локальными координатами в точке .

Исходная нелинейная система уравнений в окрестности точки аппроксимируется с помощью разложения функции правых частей системы уравнений в ряд Тейлора. Сохраним члены ряда до первого порядка включительно:

Для стационарного решения имеем

и из разложения получаем

или в матричной записи

,

где , i=1,...,n, j=1,...,n.

J - матрица Якоби, причем значения всех производных берутся в точке . Полученная система уравнений представляет собой линейную систему уравнений с постоянными коэффициентами и называется линеаризацией нелинейной системы в точке . Для её исследования можно воспользоваться результатами анализа линейных систем.

Говорят, что стационарная точкаявляется простой неподвижной точкой нелинейной системы , если соответствующая линеаризованная система проста.

Следующая теорема устанавливает связь фазового портрета нелинейной системы в окрестности некоторой простой неподвижной точки с фазовым портретом ее линеаризации.

Теорема о линеаризации. Пусть нелинейная система имеет простую неподвижную точку x*. Тогда в окрестности этой точки фазовые портреты системы и ее линеаризации будут качественно эквивалентны, если только неподвижная точка линеаризованной системы не является центром.

Принимая эту теорему без доказательства, отметим лишь, что особые точки типа узел, фокус и седло относят к так называемым грубым особым точкам: их характер не меняется при малых возмущениях правых частей исходной нелинейной системы. Особая же точка центр - негрубая точка: характер фазовых траекторий в ее окрестности меняется уже при малых изменениях правых частей системы дифференциальных уравнений. При этом центр превращается в устойчивый или в неустойчивый фокус.

Говорят что неподвижная точка нелинейной системы непростая, если соответствующая точка линеаризованной системы является непростой. Фазовые портреты нелинейной системы и ее линеаризации в этом случае могут качественно отличаться. Характер локального фазового поведения определяется теперь нелинейными членами. Поэтому, в отличие от простых неподвижных точек, существует бесконечно много различных типов локальных фазовых портретов нелинейных систем в окрестности непростых неподвижных точек. На рис.3.13 приведены фазовые портреты нелинейной системы и ее линеаризации в стационарной точке этой системы (0,0).

Известно, что в случае особой точки типа центра некоторая область фазовой плоскости сплошь заполнена замкнутыми траекториями. Вместе с тем возможна и более сложная ситуация, когда имеется изолированная замкнутая траектория, т. е. траектория, в некоторой окрестности которой нет других замкнутых траекторий. Последний случай непосредственно связан с решением вопроса о существовании изолированных периодических решений. При этом интересно, что изолированные замкнутые траектории могут иметь только нелинейные дифференциальные уравнения и системы.

Изолированные периодические решения соответствуют самым разнообразным свойствам явлений и процессов, происходящих в биологии и радиофизике, в теории колебаний и астрономии, в медицине и теории конструирования приборов. Такие решения возникают при изучении дифференциальных моделей в экономике, при рассмотрении различных вопросов автоматического регулирования, самолетостроения и т. д. Здесь же мы рассмотрим как пример нелинейную дифференциальную систему

.

Чтобы решить ее, введем полярные координаты r,q, где x=rcosq, y=rsinq. Тогда, продифференцировав соотношения x2+y2=r2 и q=arctg(y/x) по t, получим равенства

.

Умножая первое уравнение исходной системы на x, а второе - на y и складывая, с учетом первого находим, что

.

Если же умножить второе уравнение исходной системы на x, а первое - на y и вычесть, с учетом второго равенства получим соотношение

.

Система имеет единственную особую точку . Так как мы интересуемся сейчас только построением траекторий, то можно считать . А это означает, что система приводится к виду

,

.

Каждое из полученных уравнений системы легко интегрируется, и все семейство решений, как нетрудно видеть, задается формулами

или в старых переменных и формулами

Если теперь в первом уравнении системы положить , то получим . Эти равенства определяют замкнутую траекторию - окружность . Если , то ясно, что и при . Если же , то и снова при . Это означает, что существует единственная замкнутая траектория , к которой все остальные траектории с течением времени приближаются по спиралям (рис. 3.14).

Предельные циклы не всегда имеют вид окружностей, и не всегда их можно обнаружить, просто перейдя к полярным координатам. Не существует общих методов определения областей, содержащих предельные циклы, и поэтому успех зависит как от вида системы, так и от опыта исследователя.