Непростые канонические системы

Линейная система называется непростой канонической, если A - сингулярная матрица, т.е. detA = 0, и, следовательно, хотя бы одно из собственных значений Aравно нулю. Отсюда следует, что существуют нетривиальные решения уравнения Ax = 0 и что кроме x=0 система имеет и другие неподвижные точки. Для линейных систем на плоскости существует только две такие возможности: ранг A равен 1,A - нулевая матрица.

На рис.3.10 показаны два примера , когда ранг Аравен единице:

(a) , (б) .

В примере (а) все точки оси x₁ являются неподвижными точками системы, а в случае (б) стационарные точки системы полностью заполняют осьx₂. Во втором из возможных вариантов, когда матрица Анулевая (A = 0), все точки плоскости x₁,x₂ являются неподвижными.

Выводы

Всё сказанное ранее относительно простых и непростых канонических систем второго порядка можно отобразить в виде следующей схемы, приведенной на рис.3.11.

Каждому типу фазового портрета соответствует некоторое множество точек на плоскости trA-detA. Каждой точке этой плоскости соответствует определённая пара собственных значений матрицы A и, следовательно, определённая каноническая система. Рис.3.11 иллюстрирует зависимость фазовых портретов и структуры корней характеристического уравнения от параметров системы обыкновенных дифференциальных уравнений, выраженных через след матрицы коэффициентов и ее определитель.