Фазовые портреты простых канонических систем

(a) Различные действительные собственные значения

Система уравнений имеет вид

Решением системы является y₁ = ; y₂ = , откуда получаем . Возможны два варианта:

(а.1) Корни l₁ и l₂ противоположного знака.

Получается семейство гипербол, имеющих асимптотами оси у1 и у2, которые так же являются траекториями. Направления, по которым траектории проходят через стационарную точку, можно определить непосредственно из решений при t, изменяющемся от 0 до ¥. Суммарный фазовый портрет такой системы называется седлом.

(а.2) Корни l₁ и l₂ одного знака.

Траектории в этом случае образуют семейство степенных функций, причем каждая траектория входит в точку покоя или выходит из нее (в зависимости от знака корней) с различных направлений. Совокупная картина фазовых траекторий называется в этом случае узлом устойчивым или неустойчивым (рис.3.6).

(в) Действительные кратные собственные значения.

В этом случае имеем систему уравнений

имеющую решение . Откуда получаем y₂=cy₁, т.е. интегральными линиями служат все прямые, проходящие через начало координат. Это звездообразный (звездный) узел.

(c)Действительные кратные значения.

В этом случае система уравнений принимает вид:

Получаем узел с одним направлением входа устойчивый при l₀ < 0 и неустойчивый при l₀ > 0. Такой фазовый портрет называется вырожденным узлом. Узлы такого вида представляют собой точки с координатами (2pn,0), где n=0,1,... механической системы с трением, фазовый портрет которой приведен на рис.3.4,b.

(d) Комплексные собственные значения.

Система уравнений имеет вид

Выполним замену переменных:

Переходя в плоскости y₁ , y₂ к полярным координатам, получим систему уравнений

имеющую следующее решение:

Последнее уравнение задает логарифмические спирали, выходящие (или входящие) из начала координат (точки покоя). Направление движения по траекториям при t, изменяющемся от 0 до ¥, определяется из решения системы уравнений. При a < 0 имеем устойчивый фокус, а при a > 0 - неустойчивый. При a=0 получим r = с, т.е. в плоскости х,у получается семейство подобных окружностей с общими осями симметрии. Фазовый портрет в этом случае называется центром.